Définitions

Toutes les propositions enoncées ici seront démontrées ultérieurement  dans le chapitre consacré aux entiers relatifs.
Si m et n désignent deux entiers naturels, les 'multiples communs' à m et n sont les nombres qui ont pour diviseurs m et n simultanément.
Si M(x) désigne l'ensemble des multiples de x. Les multiples communs à m et n sont les éléments de l'intersection M(m) ∩ M(n).
Cette définition engendre quelques remarques.
La dernière remarque nous permet de poser la définition suivante:
Si m et n désignent des entiers naturels non nuls, on appelle 'PPCM' de m et n (notation ppcm(m,n)) le plus petit multiple commun de m et n.
Vous pouvez maintenant générer quelques exemples:
Donner deux entiers 0 <  m,n <=100000   m: n:
PPCM de m et n:
Message d'erreur éventuel:

Cette notion a de l'importance dans de nombreux problèmes d'arithmétique liés à la périodicité  mais aussi pour le problème très simple de la réduction des fractions au même dénominateur (voir ensemble ℚ ).
Remarquons qu'une conséquence théorème d'unicité du paragraphe précédent consacré à la décomposition en facteurs premiers est la suivante:
Les multiples non nuls de n sont exactement les nombres dont la décomposition  fait apparaître au moins tous les facteurs premiers de n avec un exposant supérieur ou égal à celui avec lequel ils apparaissent dans la décomposition de n.
Cette caractérisation nous donne une formule permettant le calcul du PPCM de deux nombres à partir de leurs décompositions respectives.
Pour obtenir  ppcm(m,n) il faut:
Exemple: le pgcd de 23 32 54 71 et 33 51 111 est 23 33 54 71

Conséquence importante

Tous les multiples communs à m et n sont les multiples de leur ppcm.
Il résulte aussi de cela que:
ppcm(m,n) × pgcd(m,n) = mn
Cette formule ne se généralise pas à 3 entiers ou plus. Contre-exemple: prendre trois entiers égaux.

Remarque

Si n est un multiple de m alors ppcm(m,n)=n.

Café Python

Ce programme calcule le PPCM de deux nombres.