Définition

Deux nombres entiers naturels m et n sont dits 'premiers entre eux' si leur PGCD est égal à 1.
Vous pouvez maintenant générer quelques exemples:
Donner deux entiers 0 <  m,n <=100000   m: n:
Message d'erreur éventuel:
On peut voir que m et n sont premiers entre eux sur leurs décompositions en facteurs premiers. Dans ce cas, il n'existe aucun facteur premier commun à m et à n.

Principaux résultats

Il résulte immédiatement de la définition que:
En outre, le résultat important suivant découle de la décomposition en facteurs premiers.
Si k divise le produit ab et si k est premier avec a, alors k divise b.
a et b désignant deux naturels strictement positifs, on a également les théorèmes importants suivants:
Une condition nécessaire et suffisante pour que d soit le pgcd de a et b est qu'il existe deux entiers h et k tels que:
  1. a=kd
  2. b=hd
  3. k et h premiers entre eux
Il est clair que pour tout diviseur commun d à a et b on a 1. et 2. Il suffit donc d'établir que d est le plus grand d'entre eux si et seulement si k et h sont premiers entre eux.
Mais k et h non premiers entre eux équivaut à k=pr et h=qr avec r>1, dans ce cas dr est un diviseur commun à a et b, ce qui contredit le fait que d est le plus grand d'entre eux.
Une condition nécessaire et suffisante pour que m soit le ppcm de a et b est qu'il existe deux entiers h et k tels que:
  1. m=ka
  2. m=hb
  3. k et h premiers entre eux
En effet, les deux premières conditions équivalent au fait que m est un multiple commun à a et b, il suffit donc de voir que la troisième signifie que c'est le plus petit de ces multiples communs. Si h et k ne sont pas premiers entre eux on peut écrire h=dh' et k=dk' avec d>1 donc k' donc k'<k et h'<h.
On a alors que m' =h'a=m/d= k'b est un multiple commun plus petit que m d'où contradiction.

Café Python

Ce programme teste si deux nombres sont premiers entre eux.