Si  (x,y) ∈ℚ×ℚ on pose :
sup x , y = x   si   x y y   sinon     
sup(x,y) est donc le plus grand élément de l'ensemble {x,y}
On pose également.
x + =sup(x,0)
x - =sup(-x,0)
On définit enfin la 'valeur absolue' de x :
abs(x)= |x| = sup(x,-x)
Nous avons donc les relations:
x = x + x
x = x + + x
x = x   si   x 0 x   sinon
Voici une inégalité très importante dont la preuve ne présente aucune difficulté:
|x+y| ≤ |x|+|y| ∀ (x,y) ∈ℚ×ℚ
Qui peut aussi s'écrire:
|x-z| ≤ |x-y|+|y-z| ∀ (x,y,z) ∈ℚ×ℚ×ℚ
Cette inégalité s'étend immédiatement par récurrence à n éléments x1, x2, ..., xn :
|xn-x1| ≤ |x2-x1|+|x3-x2|+...+|xn-xn-1|
Pour finir traduisons l'inégalité |x|<ε ⇔ -ε≤x≤ε
Et enfin :
|x-a|<ε ⇔  a-ε≤x≤ a+ε ⇔ x ∈ [a-ε, a+ε]
Toutes ces équivalences sont d'une utilisation permanente.