L'ensemble ℚ est dénombrable.
L'ensemble ℚ est de cardinal inférieur ou égal à ℤ×ℤ car l'application (m,m) → (m,n)=m/n est surjective.
L'application r → (p,q) | r=p/q et p, q premiers entre eux est une bijection de ℚ sur une partie de ℤ×ℤ.

Pour montrer que ℚ est dénombrable il suffit de montrer que ℤ×ℤ l'est.

Considérons la figure ci-dessous. On commence à numéroter les points en partant de l'origine et en suivant la spirale. Il est clair que la spirale finira par passer par tous les points à coordonnées entières.

Café Python

Ce programme établit une bijection entre ℕ et ℤ×ℤ