Définition

La définition suivante peut paraitre abstraite, elle est liée à un phénomène que nous étudierons par la suite en détail et qui s'appelle la 'convergence'. Elle caractérise certaines suites de rationnels dont les termes ont tendance à s'agglutiner quand n grandit. Nous aurons besoin de cette notion dès le prochain chapitre consacré aux nombres dits 'réels', mais il est tout à fait possible et même souhaitable de l'introduire dès à présent.
Une suite (un)n∈ℕ de nombres rationnels est dite une 'suite de Cauchy' si elle satisfait au critère suivant (dit 'critère de Cauchy' ):
∀ ε ∈ℚ, ∃ n0 | m,n > n0 ⇒ |um -un | < ε .
Cela veut dire qu'aussi petit que soit ε donné à l'avance, pour n suffisamment grand tous les termes de la suite sont dans un intervalle de longueur ε.
Nous allons donner deux exemples de suites assez voisins le premier satisfaisant au critère de Cauchy et le second n'y satisfaisant pas.
Considérons pour commencer la suite récurrente (un)n∈ℕ définie par :
Calculons d'abord quelques termes de cette suite:
On peut le faire avec le module rationnels.py donné en exemple:

Voici le résultat de l'exécution:

1

1

0.5

1 / 2

0.8 3

5 / 6

0.58 3

7 / 12

0.78 3

47 / 60

0.61 6

37 / 60

0.75 952380

319 / 420

0.63452380 952380

533 / 840

0.745634 920634

1879 / 2520

0.645 634920

1627 / 2520

0.7365 440115

20417 / 27720

0.653210 678210

18107 / 27720

0.730 133755

263111 / 360360

0.6587 051837

237371 / 360360

0.72537 185037

52279 / 72072

0.6628 718503

95549 / 144144

0.72169537978361507773272479154832096008566596801891

1768477 / 2450448

0.66613982422805952217716923599276540453011041246335

1632341 / 2450448

0.71877140317542794322980081494013382558274199141072

33464927 / 46558512

0.66877140317542794322980081494013382558274199141072

155685007 / 232792560

Signalons immédiatemment quelques particularités, dont la démonstration est immédiate:
Il s'en suit que notre suite vérifie le critère de Cauchy, pour ε donné à l'avance il suffit de désigner par N le plus petit des entiers n tels que  1/2(n+1) < ε puis de prendre n0 =2N.
Nous allons maintenant donner un exemple d'une suite qui ne satisfait pas au critère de Cauchy:
Considérons pour commencer la suite récurrente (un)n∈ℕ définie par : Commençons par calculer quelques termes

Voici le résultat de l'exécution:

1

1

2

2

2.5

5 / 2

2.8 3

17 / 6

3.08 3

37 / 12

3.28 3

197 / 60

3.45

69 / 20

3.5928 571428

503 / 140

3.71785714 285714

1041 / 280

3.8289682 539682

9649 / 2520

3.92896 825396

9901 / 2520

4.019 877344

111431 / 27720

4.1032 106782

113741 / 27720

4.180 133755

1506353 / 360360

4.2515 623265

1532093 / 360360

4.318 228993

1556117 / 360360

4.380728993 228993

3157279 / 720720

4.4395525226407579348755819344054638172285231108761

54394463 / 12252240

4.4951080781963134904311374899610193727840786664316

18358381 / 4084080

4.5477396571436819114837690689083877938367102453790

352893319 / 77597520

On voit que:

u 2 n + 1 1 u 2 n 1 = 1 2 n + 1 2 n + 1 +   ... + 1 2 n + 2 n 1

Donc dans cette somme il y a 2n termes tous supérieurs au dernier. La somme est donc supérieure à   2 n 2 n + 1 1 = 1 2 1 2 n
Le dénominateur est ≥ 3/2 si n ≥ 1
Donc la fraction est  ≥ 2/3 pour n ≥ 1
On voit donc en fait qu'on peut extraire de (un) une sous suite dont le terme général devient de plus en plus grand, la suite ne peut donc pas satisfaire au critère de Cauchy.