Nous avons maintenant tout ce qu'il faut pour construire effectivement l'ensemble des rationnels.
Considérons l'ensemble produit ℤ×ℤ* dont les éléments sont donc les couples (x,y) où x ∈ ℤ et y ∈ ℤ avec y ≠ 0.
Nous appellerons encore de tels couples des 'fractions' , la première coordonnée s'appelant le numérateur et la seconde le dénominateur, conformément à la terminologie adoptée pour les fractions "naïves".
Nous munissons cet ensemble d'une relation binaire:
(x,y) ≡ (x',y')  ⇔ xy'=yx'
Nous pouvons vérifier instantanément qu'il s'agit là d'une relation d'équivalence.
L'ensemble des nombres 'rationnels' est le quotient de ℤ×ℤ* par cette relation d'équivalence, cet ensemble se note ℚ.
Ainsi un nombre rationnel apparaît comme une classe d'équivalence de couples.
Sur le schéma cartésien qui suit on peut voir que les couples représentant d'une même fraction sont alignés sur des droites passant par l'origine.

Notations

Formellement la classe de (-2,3) se note (-2,3) mais nous la noterons aussi -2/3 conformément aux usages pour les notations des fractions "naïves".
Toutes les fractions de numérateur 0 sont équivalentes nous notons le rationnel correspondant 0. 0= (0,y) ∀ y ∈ ℤ
le rationnel p/1 = (p,1) sera noté simplement p. p= (x,y) ⇔ x=py.