Commençons par définir une addition sur (ℤ×ℕ*)
(x,y)+(x',y') = (xy'+x'y,yy')
Cette loi est compatible avec la relation d'équivalence (x,y) ≡ (x',y') ⇔  xy'=yx'.

Supposons (x1,y1)≡(x2,y2) et (x'1,y'1)≡(x'2,y'2).
Il faut alors montrer que :
(x1,y1)+(x'1,y'1)≡(x2,y2)+(x'2,y'2)
Soit :
(x1y'1+x'1y1,y1y'1) ≡ (x2y'2+x'2y2,y2y'2)
Soit encore :
(x1y'1+x'1y1)(y2y'2)=(y1y'1)(x2y'2+x'2y2)
ou bien :
x1y'1y2y'2+x'1y1y2y'2 = y1y'1x2y'2+y1y'1x'2y2
Sachant qu'on a :
x1y2=y1x2 et x'1y'2=y'1x'2
Il suffit pour le voir de substituer  y1x2 à x1y2 dans  x1y'1y2y'2 et y'1x'2 à  x'1y'2 dans  x'1y1y2y'2 .

Nous pouvons donc, par passage au quotient , définir une addition sur ℚ.
(x,y)+(x',y') = ( x,y)+(x',y')
ou bien encore avec nos nouvelles  notations :
x/y + x'/y'=(xy'+x'y)/yy'
Cette loi est associative.

Il s'agit de démontrer que (x/y+x'/y')+x"/y"= x/y +(x'/y'+x"/y")
Quand on développe le premier membre on trouve:
(xy'+x'y)/yy'+x"/y"= ((xy'+x'y)y"+x"yy')/yy'y"= (xy'y"+x'yy"+x"yy')/yy'y"
Quand on développe le second membre on trouve:
x/y+(x'y"+x"y')/y'y"= (xy'y"+y(x'y"+x"y'))/yy'y"=(xy'y"+yx'y"+yx"y')/yy'y"
C'est à dire la même chose.

Cette loi admet un élément neutre , à savoir 0/1.

Il s'agit de démontrer que x/y+0/1=0/1+x/y = x/y ∀ x/y ∈ ℚ . On voit de suite que x/y+0/1=(x×1 + 0×y)/(y×1)=x/y

L'addition est commutative sur ℚ.

Il s'agit de montrer que x/y+x'/y'=x'/y'+x/y ∀ x/y ∈ ℚ et x'/y' ∈ ℚ .
x/y+x'/y'=(xy'+x'y)/yy' et x'/y'+x/y vaut la même chose.

Cela vu,ℚ est muni d'une structure de groupe abélien noté additivement.
Définissons maintenant une multiplication sur (ℤ×ℤ*).
(x,y)×(x',y') = (xx',yy')
Cette loi est compatible avec la relation d'équivalence (x,y) ≡ (x',y') ⇔  xy'=yx'.

Supposons (x1,y1) ≡ (x2,y2) et (x'1,y'1) ≡ (x'2,y'2).
Il faut alors montrer que :
(x1,y1)×(x'1,y'1) ≡ (x2,y2)×(x'2,y'2)
Soit :
x1x'1/y1y'1 = x2x'2/y2y'2
Ou encore :
x1x'1y2y'2=y1y'1x2x'2
Sachant qu'on a:
x1y2=y1x2 et x'1y'2=y'1x'2
On voit donc qu'il suffit de multiplier les égalités.

Nous pouvons donc, par passage au quotient, définir une multiplication sur ℚ.
(x,y)×(x',y') = (xx',yy')
ou bien encore avec nos nouvelles notations:
x/y+x'/y'=xx'/yy'
Cette loi est associative.

Montrons que ((x/y)(x'/y'))(x"/y")=(x/y)((x'/y')(x"/y")).
On voit de suite que les deux membres sont xx'x"/yy'y".

Cette loi possède 1/1 pour élément unité.
C'est une évidence
Cette loi est commutative.
C'est aussi une évidence qui résulte du fait que la multiplication sur ℤ est elle même commutative.
Tout rationnel non nul x/y est inversible et son inverse est y/x.
En résumé: ( ℚ ,+, ×) est un corps commutatif.

En conséquence, nous pouvons adopter la notation multiplicative et toutes les règles de calcul qui s'y rattachent. A commencer par les puissances positives et négatives d'une fraction.

Le quotient de deux fractions est également défini:
(x/y)/(x'/y')=(x/y)(y'/x')=xy'/yx' (si x'≠0).
Dans le corps ( ℚ ,+, ×), l'équation: ax=b, possède toujours l'unique solution x=b/a si a ≠ 0.