Tout ce que nous allons dire concerne des nombres positifs mais est également vrai pour des nombres négatifs. Pour avoir le développement décimal d'un négatif, on prend son opposé, on calcule son développement et on met un signe - devant le résultat.
Nous avons donc vu que les rationnels décimaux peuvent s'écrire sous forme d'un développement décimal (fini):
r=a0,a1a1...an
a0 est un entier et a1, a2,...,an sont des chiffres (des entiers entre 0 et 9).
Cette écriture signifie:
r= a0+a1/10+a2/100+...+an/10n
Examinons maintenant le cas des décimaux pouvant s'écrire:
r= an+1/10n+1+an+2/10n+2+....+am/10m donc avec m ≥ n et a0=a1=a2=..=an=0
Un tel nombre vérifie forcément l'inégalité:
r ≤  9/10n+1+9/10n+2+....+9/10m=9/10n+1(1+1/10+...+ 1/10m-n-1)=9/10n+1×(1-1/10m-n)/(1-1/10)
Or le nombre (1-1/10m-n)/(1-1/10) est ≤ 1/(9/10) = 10/9
On a donc l'inégalité:
r ≤ (1/10n)(9/10)(10/9)=1/10n
En résumé nous avons établi la propriété suivante:
Tout nombre décimal dont la partie entière est nulle et dont les décimales sont nulles jusqu'à l'ordre n ne peut être strictement plus grand que 1/10n.
Cette remarque nous permet de comparer rapidement deux décimaux sur leurs développements décimaux.
Reprenons maintenant l'algorithme de la division enseigné à l'école élémentaire. A tout nombre rationnel r=p/q on associe une suite (a priori infinie)
a0,a1,....an,an+1, ....de la façon suivante:
a0 est le quotient de p par q
a1 est le quotient de la division de 10r0 par q où r0 est le reste de la division de p par q
a2 est le quotient de la division de 10r1 par q où r1 est le reste de la division de 10r0 par q
....................................................................................................................................
an est le quotient de la division de 10rn-1 par q où rn-1 est le reste de la division de 10rn-2 par q
Faisons immédiatement une remarque concernant la suite des restes r0,r1,...rn :
Ce sont des restes dans la division euclidienne par un même entier q, ils sont donc tous <q, ils ne peuvent donc être en nombre infini. Ce qui implique en particulier que leur suite est cyclique .
Ce qui veut donc dire que si pour un rationnel quelconque on prend des développements décimaux d'ordre de plus en plus grand la même tranche de chiffres réapparaît indéfiniment, nous appellerons cette tranche de chiffres la 'période' du développement.
Quelques exemples:
1/3=0,3333..    période '3'
10/7=1,42857142857142857........période '142857'
Introduisons une notation particulière.
Lorsque la période est détectée nous la mettons en valeur en la surmontant d'un trait comme ceci:
10/7=1,428571 428571
Ainsi nous écrirons:
1/3=0,3
51/11=4,636
Ainsi à chaque rationnel, nous savons par l'algorithme ci-dessus associer un 'développement décimal illimité périodique' (ddip).
Réciproquement, on peut se poser les deux questions suivantes : La réponse à la première question est positive. Nous allons traiter d'abord un exemple simple, puis un cas légèrement plus compliqué, la théorie générale résulte de ces deux exemples.
Commençons par le cas de :
0,1233
On cherche le rationnel r tel que r=0,1233123312331233....................
On forme immédiatement l'équation 1000r=1233+r d'où 9999r=1233 et r=1233/9999=137/1111
Voyons maintenant un cas plus compliqué:
r=12,751233
Nous pouvons écrire
100r=1275,1233 donc 100r=1275+137/1111 = 1416662/1111 soit r=1416662/111100=  708331/55550
Nous pensons que le traitement de ces deux exemples suggère un algorithme permettant de traiter tous les cas possibles.
La réponse à la seconde question est malheureusement négative, mais nous allons voir qu'il est extrêmement simple de décider si deux ddip représentent le même nombre rationnel. Commençons par le célèbre cas:
r=0,9 = 0,9999999999..... est il égal à 1 ????
La réponse est indiscutablement OUI !
La preuve est extrêmement simple. Soit rn le rationnel 0,999999....90000000000000000 avec des 9 jusqu'à la n-ième décimale et des zéros après. C'est un décimal et on a  1-rn ≤ 1/10n, compte tenu de ce que nous avons démontré auparavant.
On a donc     rn ≤ r ≤ 1 soit 1-rn ≤ 1-r  ≤ 0  soit encore  1/10n ≤ 1-r ≤ 0 et cela ∀ n ∈ ℕ donc 1-r=0 , il n'existe aucun nombre qui soit plus petit que TOUTES les puissances inverses de 10.
De la même façon:
1,732 = 1,731999999999...=1,7319
Mais en fait c'est la seule exception à la règle d'unicité.
Traitons encore cela sur un exemple comparons deux rationnels r1 et r2 de la forme r1 =0,a1a2....ai.... et r2=0,b1b2...bi ......
Soit n le premier rang  où les décimales de r1 et r2 diffèrent et supposons que bn <an alors si l'un des bi pour i<n est inférieur strictement à 9, le rationnel r2 n'a aucune chance de rattraper le décimal 0,a1a2...an lequel est plus petit que r1. Il en résulte que r1 ne peut être égal à r2 que si ai =0 pour i>n et bi =9 pour i>n
Définition:
Un ddip ne comportant que 9 à partir d'un certain rang est appelé un développement décimal 'impropre'.
Conclusion:
Si on exclut les développements décimaux impropres le ddi d'un nombre rationnel est toujours unique.
Vous pouvez maintenant générer quelques exemples:
Donner deux entiers 0 <  m , n ≤ 100000   m: n:
Entre parenthèses: période du développement de m/n:
Message d'erreur éventuel:

Café Python

Ce programme calcule la période du développement d'un rationnel