Les nombres 'décimaux' sont les rationnels représentables par une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un rationnel r  soit décimal est que si r=p/q où p et q sont premiers entre eux (p/q irréductible) les seuls facteurs premiers de q soient 2 et 5.
Ce résultat est évident.
Quelques nombres décimaux:
Quelques nombres non décimaux:
Les décimaux présentent trois propriétés particulières.
Commençons par le premier point, l'écriture dite en 'développement décimal'.
Tout rationnel décimal positif r  peut s'écrire :
r= r0+r1/10+r2/100+...+rn/10n où  r0 est un entier et où r1, r2,...,rn sont des entiers vérifiant  0 ≤ ri ≤ 9.
La preuve est immédiate on peut écrire r=p/10n par définition des rationnels.
Donc a0 sera le quotient de p par 10n. on peut alors écrire
r=a0+p'/10n avec p'<10n. On écrit p' en base 10.
an sera le chiffre des unités
an-1 le chiffre des dizaines, etc.
Par convention le nombre décimal ainsi décomposé s'écrira a0,a1a2...an.
Remarque: La virgule est souvent remplacée par un point dans la plupart des pays du monde.
Quelques exemples:
1/10=0,1
1/1000=0,001
1/20=0,05
1/4=0,25
75/40=1,875
Remarque: Cette écriture n'est que la continuation du système de numération de position à base 10, le premier chiffre qui suit la virgule est le chiffre des dixièmes, le second celui des centièmes, etc...
Le second point ( densité de l'ensemble des décimaux dans ℚ ) est facile à vérifier.
Pour tout entier n  les intervalles de la forme [k10-n,(k+1)10-n[ pour k ∈ ℤ forment une partition de ℚ, donc tout rationnel se trouve ainsi dans l'un d'eux et dans un seulement, sa distance à la plus proche des bornes est donc < 10-n/2.
L'algorithme qui permet de trouver une approximation d'un rationnel par un décimal à 10-n près par défaut est bien connu des écoliers. Il s'agit de la traditionnelle 'division' (la potence avec ou sans reste).
10/7 ≈ 1,42875( approximation à 10-5 près par défaut)
10
 30
  20
   60
    40
     50
      1
7
1,42875
Le dernier point (stabilité de + et ×) se vérifie sans la moindre difficulté.

Café Python

Ce programme montre que Python traite parfaitement les décimaux.