Pour construire l'ensemble ℚ des nombres rationnels à partir de l'ensemble ℤ des entiers relatifs, nous allons procéder comme pour la construction de ℤ à partir de ℕ.
Nous partirons de la remarque que certaines équations simples (toujours du premier degré) ne sont pas résolubles dans ℤ, à savoir les équations du type:
ax=b
De fait ces équations ne sont résolubles dans tous les cas dans ℤ que si a est inversible c'est à dire a=+1 ou a=-1. Pour le reste elles sont résolubles uniquement si b est un multiple de a.
Nous utiliserons un procédé de symétrisation de la loi  × , très voisin de celui utilisé pour la loi + , comportant un passage au produit cartésien , une loi produit sur les couples puis un passage au quotient. La seule difficulté, facilement surmontable, viendra de l'impossibilité de résoudre des équations du type proposé quand a=0 et b ≠ 0.
Historiquement, les choses ne ce sont pas passées ainsi. Les anciens manipulaient les fractions (positives) bien avant les entiers négatifs.
Plutôt que de donner directement une définition de ℚ par des procédés purement ensemblistes, nous commencerons par une introduction classique des 'fractions' et des opérations sur ces mêmes fractions, en essayant de donner le sens intuitif de ces opérations. Ce point étant compris nous définirons ces opérations de façon purement formelle, en utilisant les formules établies de façon intuitive.
Par la suite nous montrerons que le nouvel ensemble ainsi construit possède une structure algébrique au moins aussi riche que notre anneau ℤ, de fait ℚ est muni d'une structure de corps.
Pour finir nous montrons que ℤ s'identifie à une partie de ℚ au moyen d'un isomorphisme conservant les deux opérations fondamentales (+, ×) et les relations d'ordre ( ≤, ≥ , <, >). Nous examinerons encore les abus d'écriture, et nous chercherons à établir la cohérence des notations en examinant les cas de confusion possible a priori.