Définitions

Nous définissons d'abord certains sous-ensembles de ℚ.
Maintenant nous  munissons ℚ d'une relation binaire:
x/y ≤ x'/y' sera ainsi définie:
On vérifie immédiatement que:
≤ est une relation d'ordre total sur ℚ.
Comme dans le cas de ℕ et ℤ ≥ est la relation réciproque de ≤,  < et > sont les relations d'ordre strict associées à ≤ et ≥ .

Propriétés

≤,≥,<,>, sont compatibles avec l'addition. C'est à dire par exemple que x≤y ⇒ x+a ≤ y+a ∀ a ∈ℚ.
≤,≥,<,>, sont compatibles avec le produit par un nombre strictement positif. C'est à dire par exemple que x≤y ⇒ xa ≤ ya ∀ a ∈ℚ, a>0.
Les preuves sont simples et fastidieuses, elles reposent uniquement sur la définition des relations d'ordre et des opérations.
Le corps ℚ est 'archimédien'.
Cela signifie que ∀  (r,r') ∈ℚ×ℚ. Si r ≠ 0 alors ∃ n ∈ ℕ tel que nr > r'.
Cette propriété résulte immédiatement du fait que les multiples d'un entier positif finissent toujours par dépasser n'importe quel entier positif donné. C'est une conséquence des axiomes de Peano.