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Considérons
maintenant l'application x → x/1=
(x,1)
de ℤ → ℚ représentée ci-contre.
Il est évident qu'elle est
injective.
Nous proposons au lecteur de vérifier lui-même toutes ces propriétés;
c'est long, fastidieux et très simple.
De plus c'est un homomorphisme de (ℤ,+) dans (ℚ,+). Mais c'est aussi un homomorphisme de (ℤ,× ) dans (ℚ,×). C'est cette application que nous utiliserons pour identifier le relatif x avec le rationnel x/1. ![]() Comme ℕ lui-même avait été identifié à une partie de ℤ , le naturel 3 se trouve donc identifié avec le rationnel +3/+1. L'écriture 2/3 peut être comprise comme le rationnel +2/+3 mais aussi comme le quotient du relatif 2 identifié à 2/1 par le relatif 3 identifié à 3/1. Là encore, nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu'on tombe toujours sur le même élément. Donc, à ce stade ℤ s'identifie à une partie de ℚ stable pour + et × . Nous avons donc bien construit un prolongement de ℤ dans lequel toutes les équations: ax+b=0 (où a ≠ 0) sont résolubles Mission accomplie ! |