Il est évident qu'elle est
injective.
De plus c'est un homomorphisme de (ℤ,+) dans (ℚ,+).
Mais c'est aussi un homomorphisme de (ℤ,× ) dans (ℚ,×).
Nous proposons au lecteur de vérifier lui-même toutes ces propriétés;
c'est long, fastidieux et très simple.
De plus c'est un homomorphisme de (ℤ,+) dans (ℚ,+).
Mais c'est aussi un homomorphisme de (ℤ,× ) dans (ℚ,×).
C'est cette application que nous utiliserons pour identifier le relatif x avec le rationnel x/1.
Cette identification a de nombreuses implications.
Comme ℕ lui-même avait été identifié à une partie de ℤ , le naturel 3 se trouve donc identifié avec le
rationnel +3/+1.
L'écriture 2/3 peut être comprise comme le rationnel +2/+3 mais aussi comme le quotient du relatif 2 identifié
à 2/1 par le relatif 3 identifié à 3/1.
Là encore, nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu'on tombe toujours sur le même élément.
Donc, à ce stade ℤ s'identifie à une partie de ℚ stable pour + et × .
Nous avons donc bien construit un prolongement de ℤ dans lequel toutes les équations:
ax+b=0 (où a ≠ 0)
sont résolubles
Mission accomplie !