Regardons les schémas représentatifs des deux fractions ci-dessous:
3/4 6/8
Il est clair que la partie représentée en rouge des deux côtés est la même.
Formellement les deux fractions ne sont pas égales au sens ensembliste strict le couple (3,4) est distinct du couple (6,8), mais elles représentent la même portion du total.
Cela est vrai, plus généralement de deux fractions p/q et kp/kq où k est un multiplicateur non nul (les parties sont k fois plus petites, mais il y en a k fois plus.
La condition  enoncée ci-dessus est une condition suffisante pour que p/q et p'/q' représentent la même proportion, mais elle n'est nullement nécessaire.
Prenons par exemple 4/6 et 6/9 si on les 'convertit' en fractions de dénominateur 18 elles donnent toutes les deux 12/18.
Donnons maintenant une première définition.
Deux fractions seront dites 'équivalentes' si elles peuvent être converties par multiplication du numérateur et du dénominateur en des fractions strictement égales.
Notons pour le moment cette relation ≡ , il s'agit évidemment d'une relation d'équivalence.
p/q ≡ p'/q'  ⇔ ∃ (k,h) ∈(ℕ × ℕ) | kp=hp' et kq=hq'
Cherchons une condition nécessaire et suffisante pour que deux fractions représentent la même proportion.
Remarquons que les deux égalités ci-dessus entraînent en multipliant la première par q' et la seconde par p' que:
pq'=qp' , plus précisemment kpq'=kqp' mais on peut simplifier par k qui est non nul  ( l'anneau ℤ n'a pas de diviseurs de zéro).
Il est clair qu'inversement cette condition (pq'=qp') est suffisante pour l'équivalence de deux fractions au sens précédent. En effet la fraction p/q est convertible en pq'/qq' et la fraction p'/q' est convertible en p'q/qq' et on a bien l'égalité stricte pq'/qq' = p'q/qq' dans le cas où justement pq'=qp'.
On peut donc remplacer la définition de l'équivalence de deux fractions par cette définition plus simple:
p/q ≡ p'/q'  si et seulement si pq'=qp'.
Voici maintenant une autre notion importante:
Une fraction est dite 'irréductible' si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Pour une fraction donnée p/q introduisons le plus grand commun diviseur d=pgcd(p,q) et considérons la fraction (p/d)/(q/d), cette fraction est irréductible et représente la même chose que p/q au sens précédent.
On peut donc toujours associer à toute fraction p/q une fraction irréductible qui lui est équivalente.
Ce procédé s'appelle la 'simplification' de la fraction p/q.
En outre ce procédé conduit à un résultat unique:
Si p/q et p'/q' sont équivalentes et irréductibles alors p=p' et q=q'.
En effet on a pq'=qp' donc p divise qp' comme p est premier avec q, p divise p' par le théorème de Gauss. De la même façon q divise q'. On a donc p'=kp et q'=hq mais comme pq'=qp' on a kpq'=hpq' donc h=k  donc p'=kp et q'=kq et on a forcément k=1 puisque p' et q' sont premiers entre eux.
Notons maintenant un abus d'écriture contraire aux conventions strictes de la théorie des ensembles mais tout à fait courant et sans aucun danger (nous le verrons plus tard).
L'équivalence des fractions sera notée par le symbole d'égalité:
p/q=p'/q'  ⇔ pq'=qp'
Vous pouvez maintenant générer quelques exemples:
Donner deux entiers 0 <  m,n ≤ 100000   m: n:
Fraction m/n simplifiée:
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