Nous allons maintenant définir la somme de deux réels, cette fois encore nous étudierons les différentes possibilités en fonction de la définition adoptée.
Nous allons voir que la chose est extrêmement simple dans le cas des coupures de Dedekind et des suites de Cauchy, beaucoup moins dans le cas des DDI.
Commençons par les suites de Cauchy.
Soient donc (un)n∈ℕ et  (vn)n∈ℕ deux suites de Cauchy de rationnels.
Alors la suite somme définie par wn=un+vn ∀ n ∈ ℕ est également une suite de Cauchy. Cela se vérifie immédiatement.
On vérifie aussi la compatibilité de cette opération (addition des suites) avec la relation d'équivalence définie entre elles. Nous nous contenterons d'énoncer cette propriété:
Si (un) et (Un) sont équivalentes d'une part, représentant le même réel x,  et si (vn) et (Vn) sont également équivalentes d'autre part, représentant le même réel y, alors (un+vn) est équivalente à (Un+Vn) elles représentent toutes deux le même réel que nous noterons x+y et que nous appellerons 'somme' de x et de y.
Voyons maintenant comment cela se passe avec des coupures.
Soit x un réel représenté par une coupure (G1,D1) et soit y un autre réel représenté par une coupure (G2,D2).
Alors si on pose:
G3 = {u+v| u∈G1 ∧ v∈G2}
D3 = {u+v| u∈D1 ∧ v∈D2}
Comme on peut le vérifier facilement, le couple (G3,D3) est bien une coupure et définit donc un réel que nous noterons x+y.
On voit donc qu'avec les suites de Cauchy ou les coupures de Dedekind la définition de la somme est relativement simple et naturelle.
Qu'en est-il avec les DDI ?
Soient donc deux réels représentés par des DDI propres:
x=e,a1a2....an......  e partie entière, ai décimales
y=f,b1b2....bn ...... f partie entière, bi décimales
La difficulté vient du fait que les additions se font en général de droite à gauche (problème des retenues), et qu'on ne sait pas additionner directement deux DDI illimités. De sorte que si on a défini les réels par les DDI seulement il est très difficile de donner une définition directe de l'addition de deux DDI. Nous contournerons donc cette difficulté en associant aux deux DDI des suites de Cauchy, en additionnant les suites de Cauchy, et en associant un DDI à la suite de Cauchy somme.

Café Python

Ce programme illustre la somme de deux réels (suites de Cauchy). On compare √2+√2 avec √8

Voici le résultat de son exécution.