Nous avons besoin, pour comprendre ce paragraphe, de la notion d'ensemble dénombrable, exposée précédemment.
Nous aurons aussi besoin du résultat qui affirme qu'un ensemble ne peut être équipotent à l'ensemble de ses parties (revoir cet exercice).
Nous nous fixons pour but de démontrer que ℝ n'est pas dénombrable.
Nous allons montrer pour cela que ℝ contient un sous-ensemble non dénombrable.
Soit X=[0,1[, nous allons montrer que X n'est pas dénombrable.
Les éléments de X s'écrivent , en système binaire, comme des DDI de la forme:
0,a0a1a2a3......an .... où les ai sont des décimales binaires égales soit à 0 soit à 1.
Un tel développement correspond exactement à une application de ℕ dans {0,1} (fonction caractéristique).
Or nous avons vu que pour tout ensemble E, ℘(E) est équipotent à 2E.
En mettant tout cela bout à bout, on voit que l'ensemble de tous les DDI binaires de la forme 0,a0a1a2a3......an ...ne peut être dénombrable.
Or X n'est pas en bijection exactement avec cet ensemble à cause du fait que certains réels (les décimaux binaires) ont deux DDI, un DDI propre et un DDI impropre.
Cependant ces 'décimaux binaires'  sont en quantité dénombrable puisqu' inclus dans ℚ qui est lui même dénombrable.
Donc si nous excluons les DDI impropres, les DDI restant ne peuvent être dénombrables, car la réunion de deux dénombrables est dénombrable. Il en résulte que l'ensemble des DDI propres, en bijection avec X est non dénombrable, que X est non dénombrable et donc que:
ℝ lui-même est non dénombrable.
Le cardinal de ℝ est appelé le 'continu'.
ℝ contient donc des parties dénombrables comme ℕ et ℚ, ainsi que des parties non dénombrables comme les intervalles non vides tous équipotents à ℝ.
La question se pose donc de savoir si toute partie de ℝ est équipotente soit à ℝ soit à ℕ. Ce qui, autrement dit, signifierait qu'il n'existe aucun cardinal strictement compris entre le dénombrable et le continu.
Cet énoncé, dû initialement à Georg Cantor, s'intitule "l'hypothèse du continu".
Ce n'est qu'en  1963, que Paul Cohen montra que cette hypothèse ne pouvait se déduire des axiomes de la théorie des ensembles ZFC, généralement considérée comme une formalisation adéquate de la théorie des ensembles de Cantor, qui n'était pas encore axiomatisée en 1900. Kurt Gödel avait précédemment démontré, en 1938, que cette hypothèse n'était pas non plus réfutable dans ZFC. Elle est donc indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ZFC, ou encore indécidable dans cette théorie.