Nous avons déja vu la définition d'une suite de Cauchy de rationnels.
La définition des nombres réels que nous allons donner ici repose sur cette notion, tout autant que sur celle de relation d'équivalence.
Formellement nous considérons l'ensemble de toutes les suites de Cauchy de rationnels, et sur cet ensemble, nous considérons la relation:
(un)n∈ℕ ≡ (vn)n∈ℕ ⇔ ∀  ε ∈ ℚ ε >0, ∃ m ∈ ℕ|  n>m ⇒  |un-vn|<ε.
Cela signifie que la différence entre les termes de même rang des deux suites sont aussi petites qu'on veut pourvu que ce rang soit suffisamment grand.
Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que cette relation est transitive, le fait qu'elle soit réflexive et symétrique étant parfaitement évident.
Par exemple les deux suites:un =1/(1+n)   et vn =1/(1+n²) sont équivalentes en ce sens.
Cela vu, nous définissons un nombre réel comme une classe d'équivalence de suites de Cauchy pour cette relation.
Un nombre réel, ainsi défini, est un objet complexe puisqu'il s'agit d'un ensemble de fonctions de ℕ dans ℚ. A déconseiller, donc pour les classes des collèges...
L'intérêt de cette méthode est double: Nous verrons cela un peu plus en détail par la suite.
Contentons nous, pour le moment, de voir qu'un DDI nous fournit un nombre réel au sens donné ici.
Soit x un DDI ( propre ), supposons pour simplifier que sa partie entière soit nulle. Notre DDI s'écrit donc:
x=0,a0a1a2a3......an.........
Considérons maintenant la suite des décimaux :
d0=0,a0
d1 =0,a0a1
d2=0,a0a1a2
...................
dn=0,a0a1...an
La suite (dn)n∈ℕ est une suite de Cauchy.
Cela résulte simplement du fait que si  p,q ≥ n  |dp-dq|<1/10n.
Nous pouvons donc associer à cette suite de Cauchy sa classe d'équivalence , qui définit un nombre réel au sens précisé ici.
Inversement toute suite de Cauchy de rationnels définit un DDI.
En effet la propriété de Cauchy entraîne que quel que soit le naturel p,  pour tous les éléments d'une suite de Cauchy, à partir d'un certain rang n la p-ième décimale ap de tous les éléments de la suite ne change plus. On peut donc associer à toute telle suite le DDI dont la p-ième décimale est ap pour tout p. Le seul point délicat consite à démontrer que le DDI ainsi construit est compatible avec la relation d'équivalence donné ici, c'est à dire que deux suites de Cauchy équivalentes donneront le même DDI. C'est un peu long et technique mais pas vraiment difficile.
Remarquons encore que tout rationnel r, induit une suite de Cauchy de rationnels 'constante' définie par rn=r ∀ n∈ℕ. Cette remarque nous permettra d'identifier  un rationnel avec la classe de cette suite constante, l'application étant évidemment injective. Si r et s sont deux rationnels distincts, la suite constante rn=r ne peut être équivalente à la suite constante sn=s au sens précédent.

Café Python

Ce programme approxime √3 par une suite de Cauchy de rationnels

Voici le résultat de son exécution.

Ce programme approxime √2 par une suite de Cauchy de décimaux

Voici le résultat de son exécution.