Nous suggérons de commencer par revoir ce qu'est un corps.
Le résultat principal que nous voulons établir ici est que (ℝ, +, × ) est un corps.
Pour montrer que (ℝ, +, × ) est un corps, il faut d'abord montrer que (ℝ,+) est un groupe abélien additif
. Nous utiliserons ici la définition au moyen des suites de Cauchy, parce que c'est vraiment la plus indiquée. La raison en est que les lois définies sur ℚ, passent immédiatement à tout ensemble de suites d'éléments de ℚ (de Cauchy ou non) parce que les suites ne sont qu'un 'produit infini' de copies de ℚ. L'ensemble de toutes les suites se note d'ailleurs ℝ. L'addition des suites se fait terme à terme comme nous l'avons déjà montré. De plus les propriétés de l'addition sur ℚ, passent immédiatement aux ensembles de suites, par exemple si  U=(un) et V=(vn) sont deux suites de Cauchy de rationnels. On a U+V=V+U parce que ∀ n ∈ ℕ un+vn=vn+un et de même pour l'associativité. Le neutre de l'addition est la suite constante  un=0 ∀ n∈ℕ. L'opposée de la suite (un) est la suite (-un). Le second point à vérifier est la compatibilité de cette addition avec la relation d'équivalence définie sur l'ensemble des suites de Cauchy. Cette compatibilité s'énonce ainsi:
Si (un) est équivalente à (u'n) et si (vn) est équivalente à (v'n), alors (un+vn) est équivalente à (u'n +v'n) ce qui permet de définir sur ℝ une addition comme loi quotient, conservant les propriétés de l'addition des suites.
Il en va de même de la multiplication qu'on a définie dans un paragraphe précédent.
Là encore on vérifie toutes les propriétés intrinsèques de ce produit et ses propriétés relatives à l'addition ( distributivité ). Le neutre de la multiplication est caractérisé, par exemple, par la suite de Cauchy constante un=1 ∀ n.
Naturellement il est possible de vérifier toutes ces propriétés avec une autre définition (par exemple avec les coupures) mais c'est beaucoup plus long et fastidieux. La définition la plus élaborée et la plus abstraite, celle au moyen de classes d'équivalence de suites de Cauchy se révèle la plus adaptée au moment d'établir les propriétés des lois.