Si nous représentons les nombres rationnels sur une droite, nous remarquons la présence de 'trous'.
Considérons par exemple:
Nous remarquons que:
C'est précisément ce que nous appellerons une 'coupure' de ℚ.
Remarquons que tout rationnel r définit évidemment une coupure de ℚ en prenant G= {x ∈ ℚ| x<r} et D={x ∈ ℚ| x>r}, cependant, comme nous venons de l'illustrer dans l'exemple précédent il existe des coupures de ℚ qui ne correspondent à aucun rationnel.
Ce sont ces coupures que nous appellerons 'nombres irrationnels' (étymologiquement, et du point de vue grec: non conformes à la raison).
A ce stade nous pouvons convenir de noter √2 le nombre irrationnel donné en exemple.
Essayons maintenant de faire le lien avec les DDI présentés précédemment.
Soit x un DDI ( propre ), supposons pour simplifier que sa partie entière soit nulle. Notre DDI s'écrit donc:
x=0,a0a1a2a3....an.........
Il correspond exactement à la suite de ses décimales n → an.
Considérons maintenant la suite des décimaux :
d0=0,a0
d1=0,a0a1
d2=0,a0a1a2
...................
dn=0,a0a1... an
Désignons par G l'ensemble des rationnels qui sont ≤ à au moins un dn et par D l'ensemble des rationnels qui sont > à tous les dn.
G= { r ∈ ℚ | ∃ n ∈  ℕ  | r ≤ dn }
D= { r ∈ ℚ | r > dn ∀ n ∈  ℕ}
Il est évident que ces deux ensembles sont par leur définition même, complémentaires l'un de l'autre.
Non moins évident est le fait que tout élément de D est  supérieur à tout élément de G.
Ce qui n'est peut être pas clair c'est la troisième propriété: ∀ ε >0 ∃ x ∈ G ∧ ∃ y ∈ D | y-x< ε
Remarquons que les dn forment une suite croissante:
do ≤ d1 ≤ d2 ≤ .... ≤ dn ≤ dn+1 ≤ ......
Compte tenu de la définition de G il en résulte que tous les dn sont des éléments de G.
Maintenant puisque nous avons supposé que x=0,a0a1a2a3......an .......... est un DDI propre, il en résulte qu'on a jamais la situation où tous les an sont égaux à 9 à partir d'un certain rang.
Il en résulte qu'on peut fabriquer à partir de la suite an une suite extraite am où m=m(n) est une fonction strictement croissante de n où am ≠ 9 ∀ m.
désignons maintenant par fm le décimal  0,a0a1bm où bm=am+1.
On voit que fm est un élément de D ∀ m. En outre fm-dm ≤ 1/10m, d'où la troisième propriété.
Tout DDI propre définit donc bien une coupure des rationnels au sens de Dedekind.