Définition

Nous avons vu précédemment que tout nombre rationnel pouvait être représenté par un développement décimal illimité (D.D.I.) et que les D.D.I. représentant des rationnels avaient la propriété d'être périodiques. Le cas des développements limités correspondant simplement aux nombres décimaux, pour lesquels la période, à partir d'un certain rang est composée du seul chiffre 0.
Encore devons nous distinguer entre les DDI 'impropres', dont la période est constitué du seul chiffre 9 (exemple: 1,459999999 9.......), des autres DDI que l'on pourra qualifier, par opposition, de 'propres'.
Nous rappelons que tout rationnel représenté par un DDI impropre est également représenté par un DDI propre (ex: 1,4599999=1,46).
Nous partirons de cette remarque pour donner notre première définition des nombres dits 'réels'.
Formellement un 'nombre réel' correspond à un DDI propre non nécessairement périodique.
Encore faut-il montrer par un exemple que de tels DDI existent.
Considérons par exemple le DDI:
0,122333444455555666666777777788888888999999999111111111122222222222............................
Il est clair pour tout le monde que ce DDI ne peut être périodique puiqu'en allant vers la droite on trouve des tranches de plus en plus grandes de chaque chiffre. Ainsi la période, à supposer qu'elle existe, devrait être composée seulement de chiffres 1, mais aussi seulement de chiffres 2, etc...
Ce DDI ne peut donc pas représenter un nombre rationnel.

Café Python

Ce programme calcule les décimales de √2

Voici le résultat de son exécution.