Nous examinons maintenant quelques propriétés 'topologiques' de ℚ considéré comme partie de ℝ, ainsi que de son complémentaire I= ℝ-ℚ, l'ensemble des nombres 'irrationnels'.
Tout d'abord il est clair que tout intervalle ouvert non vide contient une infinité de rationnels et une infinité d'irrationnels.
En effet  montrons déjà que tout tel intervalle contient au moins un rationnel et un irrationnel.
Soit J=]a,b[ un tel intervalle avec b-a = ε >0
Pour n entier suffisamment grand on a 1/n < ε , donc il existe forcément un entier m tel que m/n ∈ J, ceci prouve le premier point.
Si maintenant n est un entier non nul quelconque  √2/n est toujours irrationnel. Or pour n suffisamment grand √2/n < ε ce qui prouve que J contient un nombre de la forme m√2/n forcément irrationnel, cela montre le second point.
Cela dit puisque ]a,b[ contient un rationnel r, il en est de même de ]a,r[ et de ]r,b[ et on peut continuer ainsi. Le même argument vaut pour les irrationnels.
On peut exprimer de plusieurs manières, le fait que ℚ et I sont 'inséparables'.