Identification de Q à une partie de R

Nous avons vu que pour chacune des constructions proposées ℚ s'identifiait à une partie de ℝ , au moyen d'applications injectives .

Un rationnel r s'identifie à la classe de la suite constante u_n =r ∀ n ∈ ℕ.
Un rationnel r s'identifie à la coupure qu'il crée sur l'ensemble ℚ G= {x ∈ ℚ | x ≤ r} D={ x ∈ ℚ | x > r}.
Un rationnel s'identifie à un DDI périodique propre (dont la période n'est pas constituée du seul chiffre 9) unique.

Mais ce qui est remarquable c'est que ces injections respectent à la fois l'ordre et les structures algébriques. Bref, ce sont des homorphismes croissants.
Pour la partie homomorphisme cela est parfaitement clair avec la définition par les suites de Cauchy.
On voit que clairement l'ordre est respecté avec les coupures de Dedekind.
Ainsi ℝ, construit par l'une quelconque des méthodes exposées, est un très bon candidat pour satisfaire à toutes les exigences d'une définition axiomatique telle qu'exposée dans l'introduction.
Les seuls points qui ne sont peut-être pas encore évidents sont le fait que l'ordre est total et que ℝ est archimédien. Or si nous reprenons la définition de la comparaison de deux réels au moyen des DDI, on voit que par exemple dans le cas de deux réels positifs distincts x et y on a forcément x>y ou y>x.
Le fait que ℝ est archimédien provient du fait que ℚ l'est et que pour tout ε > 0 ε ∈ ℝ, il existe r ∈ ℚ tel que 0 < r < ε (évident avec les DDI).
Enfin le point important (et le plus important pour l'analyse mathématique) est le fait que, contrairement à ℚ tout sous-ensemble majoré (resp. minoré) possède une borne supérieure (resp inférieure).
Cela se voit facilement sur les DDI.
Considérons le cas d'un sous-ensemble X contenu par exemple dans [0,1[, les éléments correspondent donc à des suites infinies de décimales 0,a₁a₂a₃.....a_n......
Les premières décimales des éléments de X ont un maximum désignons ce maximum par b₀.
Les secondes décimales des éléments de X ayant b₀ comme première décimale ont eux même un maximum désignons ce maximum par b₁.
Les troisièmes décimales des éléments de X de la forme 0,b₀b₁...... ont un maximum désignons ce maximum par b₂.
Et ainsi de suite.
Désignons par b= 0,b₁b₂b₃........ le nombre réel dont le DDI est constitué par tous les b_i.
Il est clair que c'est un majorant de X d'une part et qu'ont peut trouver dans X des éléments aussi près de b qu'on veut, à savoir les décimaux 0,b₀, 0,b₀b₁, etc.
b répond donc à la définition d'une borne supérieure pour X.