Nous allons suivre le fil conducteur qui nous a permis de justifier les différentes constructions précédentes: "L'impossibilité de résoudre certaines équations".
Nous avons vu que dans  toutes les équations du type ax+b=0 (où a ≠ 0), c'est à dire les équations du premier degré, possèdent une solution unique, chose que nous avons résumé par la propriété: " ℚ est un corps".
Mais que dire des équations du second degré ?
On remarque que certaines équations ont des solutions, par exemple:
et que d'autres n'en ont pas, comme:
Toutefois dans les exemple ci-dessus, on a deux cas bien distincts. Par contre des équations telles que x²=4 et x²=1/4 possèdent bien une (et même deux) solutions dans ℚ.

Notre but sera donc de construire une extension de ℚ, c'est à dire un ensemble ℝ muni d'une structure de corps tel que ℚ puisse s'identifier à un sous-corps de ℝ, muni aussi de relations d'ordre ≤ , ≥ , > , < prolongeant celles de ℚ.

Plus précisément, comme dans le cas de ℕ (axiomes de Peano), nous disposons d'une définition 'axiomatique' de ℝ:
  1. ℝ est un corps qui contient ℚ comme sous-corps. On dit que ℝ est une 'extension' de ℚ.
  2. ℝ est muni d'une relation d'ordre le prolongeant celle de ℚ, il s'agit d'une relation d'ordre total.
  3. ℝ est archimédien ( ∀ ε >0, ∀ α >0 ∃ n ∈ ℕ | n × ε  > α).
  4. Toute partie de ℝ non vide et majorée admet une borne supérieure (ce qui n'est pas le cas de ℚ, nous l'avons vu).
Il existe, pour construire un ensemble ℝ répondant à ces spécifications, plusieurs techniques, et nous en présenterons trois:
Chacune a ses avantages et ses inconvénients, la première est la plus intuitive et certainement la plus pédagogique, celle que tout enseignant choisira d'utiliser pour introduire les nombres réels à des adolescents. Cependant, si cette méthode permet d'appréhender les nombres réels, elle s'avère n'être pas la meilleure au moment de démontrer les propriétés attendues et annoncées plus haut. Ceci est sans importance dans la mesure où, à un niveau élémentaire (et même quelquefois à un niveau supérieur), toutes ces démonstrations sont passées sous silence. La seconde méthode est simple, intuitive, mais elle se limite au cas de ℝ, elle n'est pas généralisable. Pour finir la troisième est loin d'être simple, mais elle peut être utilisée dans des cas plus généraux. Donc comme dit l'ami Georges "Chacune a son petit mérite, chacune à quelque chose pour plaire".