Faire de l'analyse mathématique c'est établir des majorations, des minorations, des encadrements; bref c'est résoudre des inéquations.
Et pour résoudre des inéquations il faut souvent appliquer des inégalités plus ou moins classiques.
En voici quelques unes d'un usage fréquent.
Pour donner du sens à tous nos énoncés, on suppose acquis que tout réel positif possède une racine nième positive. Le théorème de la borne supérieure l'établit immédiatement.

Inégalité 1:
Pour tous réels positifs a; b on a :
ab a + b 2
Dans quel cas a-t-on  l’égalité?
On a (√ (a) - √ (b))²=a-2√(ab)+b ≥ 0.
L'égalité a lieu si et seulement si a=b

Inégalité 2:
Pour tous réels strictement positifs a; b on a :
2 1 a + 1 b ab
Dans quel cas a-t-on l’égalité?

Il suffit d'appliquer l'inégalité précédente avec 1/a et 1/b au lieu de a et b. Là encore égalité si a=b.

Inégalité 3:
Pour tous réels a,b ≥ 0
a + b a + b

Il suffit d'élever les deux membres au carré

Inégalité 4:
Pour tous réels a et b on a:
a b a b

Il suffit d'appliquer l'inégalité précédente aux couples (a-b,b) et (b-a,a) simultanément.

Inégalité 5:

Généralisation de l'inégalité 1.
La moyenne géométrique de n nombres positifs est toujours inférieure à leur moyenne arithmétique.
a 1 a 2 ... a n n a 1 + a 2 + ... + a n n

Si tous les nombres sont égaux, ils sont égaux à leur moyenne arithmétique et le résultat est évident. La démonstration consiste à remplacer, par étapes, le système initial a 1, ..., an par un système ayant la même moyenne géométrique et une moyenne arithmétique inférieure jusqu'à ce que tous les nombres soient égaux. On peut donc supposer les ai rangés par ordre croissant. Soit m la moyenne arithmétique des ai . Remplaçons an par bn = m et a1 par b1 =a1 an /m de sorte que la moyenne géométrique est inchangée. Cela vu nous avons (b1 +bn )-(a1 +an )=(an -m)(a1 -m)/m ≤ 0, ce qui prouve que la moyenne arithmétique n'est pas augmentée. Il suffit alors d'itérer le processus jusqu'à ce que tous les ai soient égaux à m.

Inégalité 6:

Généralisation de l'inégalité 2.
La moyenne harmonique de n nombres positifs est toujours inférieure à leur moyenne géométrique.
n 1 a 1 + 1 a 2 + ... + 1 a n a 1 a 2 ... a n n

Il suffit d'appliquer l'inégalité précédente à la suite des inverses des ai .

Inégalité 7:

Inégalité de Cauchy-Schwarz:
i = 1 n a i b i 2 i = 1 n a i 2 × i = 1 n b i 2

Cela résulte de l'égalité:
i = 1 n a i b i 2 = i = 1 n a i 2 × i = 1 n b i 2 i , j = 1 n a i b j a j b i 2