Définition

Soit E un ensemble quelconque, on appelle 'distance' sur E, toute application d: E×E → ℝ vérifiant les propriétés suivantes:
Il existe de nombreux exemples de telles fonctions comme la distance 'euclidienne' de deux points dans le plan ou dans l'espace.
La donnée d'un ensemble E et d'une distance d sur E, soit un couple (E,d) est appelée un 'espace métrique' .
La 'valeur absolue' d'un nombre réel est définie comme dans le cas de ℤ et de ℚ.
|x|=Sup(x,-x)
ou encore
|x| = x si x>0 ou -x si x ≤ 0
Nous affirmons que sur ℝ×ℝ la fonction d(x,y)=|x-y| est une distance.
Les trois premières propriétés sont évidentes. La quatrième s'énonce:
|x-z| ≤ |x-y|+|y-z|
posant a=x-y et b=y-z, elle équivaut à:
|a+b| ≤ |a|+|b|
Elle est évidente quand les 2 nombres a et b sont de même signe. Vu la symétrie de la relation en a et b on peut supposer en toute généralité pour achever la démonstration que a ≥ 0 et b ≤ 0. Si |a| >|b| alors |a+b| ≤ |a| dans le cas contraire  |a+b| ≤ |b|, donc dans tous les cas |a+b| ≤ |a|+|b|.