A ce stade, nous supposons l'ensemble ℝ défini, par l'une quelconque des 3 méthodes présentées:
Comme nous l'avons déjà vu, il est possible de passer d'une construction à l'autre, associer un DDI à une suite de Cauchy, associer un DDI à une coupure, etc. Nous avons vu aussi que dans tous les cas ℚ s'identifie à une partie du nouvel ensemble construit.
Il s'agit ici de 'prolonger' la relation d'ordre  ≤ sur ℚ, c'est à dire de définir une relation d'ordre  ≤ sur ℝ, compatible avec la précédente en ce sens que si x et y sont des réels associés à des rationnels r et s (par l'une quelconque des méthodes exposées). Les deux relations x ≤ y et r ≤ s soient équivalentes.
Cela fait, nous définirons les relations associées ≥, <, > de la façon usuelle ≥ est la réciproque de ≤, x<y signifie x ≤ y et x ≠ y, etc.
Commençons avec les DDI. Nous allons d'abord comparer deux DDI propres positifs x et y qui s'écriront donc:
x=e,a1a2....an ......  e partie entière, ai décimales
y=f,b1b2...bn ...... f partie entière, bi décimales
Nous commençons par comparer les parties entières. Si e < f, nous écrivons que x ≤ y.
Si f >e nous affirmons que x ≤ y est fausse.
Si e=f, nous comparons les décimales ai et bi une à une dans l'ordre.
Si a0 < b0 nous affirmons que x ≤ y.
Si a0 >b0 nous affirmons que x ≤ y est fausse.
si a0 =b0 , nous passons à  la comparaison de a1 et b1, et ainsi de suite.
Si toutes les décimales sont égales nous écrivons encore x ≤ y (cas de l'égalité).
L'introduction des négatifs ne pose pas de problèmes particulier si x et y sont négatifs nous conviendrons que x ≤ y  ⇔ -y ≤ -x, que tout nombre négatif est ≤ à tout positif, et que tout nombre strictement positif n'est jamais ≤ à un nombre négatif.
Il reste évidemment à vérifier que l'on obtient bien ainsi une relation transitive, réflexive et antisymétrique. Nous omettrons la démonstration.
Pour les suites de Cauchy on peut utiliser la définition résultant de la remarque suivante.
La relation entre deux suites de Cauchy r=(rn)n∈ℕ et  s=(sn)n∈ℕ , définie par  r ≤ s ⇔  ∃ m |  n ≥ m ⇒ rn ≤ sn ∀ n ∈ ℕ est une relation d'ordre compatible avec la relation d'équivalence définissant les réels.
La démonstration de ce résultat est longue, purement technique et de peu d'intérêt, il s'agit de vérifier les axiomes des relations d'ordre et d'appliquer la définition de la relation d'équivalence des suites de Cauchy.
Pour les coupures tout est beaucoup plus simple (du moins pour la définition).
Si x= G1,D1 désigne une coupure, et si y=G2,D2 en désigne une autre. On écrira x ≤ y si G1 ⊆ G2.
Pour conclure, retenons simplement le résultat suivant:
Quelle que soit la méthode de définition utilisée on parvient toujours à une relation d'ordre, il s'agit d'une relation d'ordre total (pour toute paire (x,y) d'éléments de ℝ on a toujours soit x ≤ y soit y ≤ x. Enfin cette relation prolonge celle de ℚ.