Les intervalles de ℝ sont définis exactement comme les intervalles de ℚ.
En particulier, les définitions d'intervalles ouverts et fermés sont les mêmes.
Un sous-ensemble de ℝ est dit 'ouvert', si chaque fois qu'il contient un point x il contient un intervalle ouvert non vide contenant x.
Formellement :
U  ouvert  ⇔ ( ∀ x ∈ U ∃ (a,b) ∈ ℝ × ℝ | a<x<b ∧ ]a,b[ ⊆ U)
Cette définition entraîne immédiatement les propriétés suivantes:
On dit maintenant qu'un sous-ensemble F de ℝ est 'fermé' si son complémentaire ℝ-F est ouvert.
Cette nouvelle définition entraîne les propriétés suivantes.
Nous allons montrer maintenant que l'intersection d'une famille infinie d'ouverts n'est pas forcément un ouvert.
Désignons, pour n ∈ ℕ* par In l'intervalle ]-1/n, +1/n[ . L'intersection de tous les In est {0} et ce n'est pas un ouvert. Nous montrons aussi que la réunion d'une famille infinie de fermés n'est pas forcément un fermé. Désignons, pour n ∈ ℕ* par Fn le singleton {1/n}. La réunion X de tous les Fn est donc constituée de tous les points de la suite un =1/n pour n ≠ 0. Il est clair que 0 ∉ X. X fermé ⇔ ℝ-X ouvert. Or si ℝ-X était ouvert comme il contient 0 il devrait contenir un intervalle ]a,b[ avec a<0 et b>0, or ceci est faux car tout tel intervalle contient un point de X ( ∀ b >0 ∃ n ∈ ℕ* | 1/n <b).
Donnons encore quelques définitions qui peuvent être utiles:
Soit X ⊆ ℝ la réunion de tous les ouverts contenus dans X est encore un ouvert contenu dans X et c'est évidemment le plus grand d'entre eux. On l'appelle "l'intérieur" de X.
L'intersection de tous les fermés contenant X est encore un fermé contenant X et c'est le plus petit d'entre eux . On l'appelle "l'adhérence" de X (notation X).
Quelques exemples:
Soit maintenant X un sous-ensemble quelconque de ℝ. On appelle 'frontière' de X l'intersection de X et de ℝ-X.
Exemples: