Jusqu'à présent l'image que nous avons de ℝ est une partition entre rationnels et irrationnels.
Nous avons vu que les irrationnels sont beaucoup plus nombreux que les rationnels, en ce sens que leur ensemble est équipotent à ℝ alors que les rationnels sont dénombrables.
Nous allons voir maintenant qu'on peut faire un discrimination entre les irrationnels eux-mêmes entre nombres dits 'algébriques' et les autres qualifiés de 'transcendants'.
Une fonction polynomiale de degré n de ℝ dans ℝ est une application du type:
x →  a0+a1x+a2x2+....+anxn où n est un entier naturel.
Plus précisément nous ne considérerons ici que les applications polynomiales à coefficients entiers (relatifs).

Exemples

x → x²-2
x → 2x3-x+1
Nous appellerons 'zéros' ou 'racines' d'une telle fonction polynomiale p, les solutions de l'équation p(x)=0.

Exemple

√2 et - √2 sont racines de x²-2.
Un nombre réel x est dit 'algébrique' s'il est racine d'une équation p(x)=0 où p est un polynôme à coefficients entiers, dans le cas contraire il est dit 'transcendant'.
Remarque:(x algébrique) ⇔ (x est racine d'un polynôme à coefficients rationnels). Il suffit pour le voir de multiplier l'équation par le ppcm des dénominateurs des coefficients.

Exemples

Remarquons d'abord que toute équation du type x²-p=0 avec p ≥ 0 possède une solution dans ℝ, notée √p. En effet, il suffit de prendre la borne supérieure de l'ensemble { x ∈ ℝ | x >0 ∧ x² <p }. Donc tous les nombres de la forme √p avec p entier >0 sont algébriques.
Donner des exemples de nombres transcendants est plus difficile alors qu'on peut facilement voir qu'il en existe beaucoup plus que d'algébriques en un sens que nous allons préciser immédiatement.
Nous affirmons d'abord que les nombres algébriques sont en infinité dénombrable.
Ce résultat s'obtient de la façon suivante:
Les polynômes de degré n s'identifient à ℤn+1. Comme ℤ est dénombrable il en est de même de ℤn+1. La réunion de tous les polynômes de degré n lorsque n varie est donc aussi dénombrable. Comme chaque polynôme de  degré n a au plus n racines (cela se démontre facilement), l'ensemble des racines des polynômes à coefficients entiers est dénombrable. Comme corollaire, il en résulte que:
Les transcendants sont en infinité non dénombrable.
Comment se fait-il alors qu'il soit difficile de donner des exemples de nombres transcendants, puisqu'ils sont si nombreux ?
De fait démontrer qu'un nombre n'est racine d'aucune équation algébrique n'est pas chose aisée, et il a fallu attendre le 18-ième siècle pour obtenir ce genre de preuve.
Pour votre culture personnelle sachez que:
Certaines constantes universelles des mathématiques comme e (la base des logarithmes népériens, appelé aussi nombre d'Euler) ou bien π sont des nombres transcendants .