Nous avons déjà vu comment définir l'addition des entiers relatifs au moyen de la première définition ( marches orientées ).
Voyons maintenant comment faire pour la seconde définition (classes d'équivalences de couples de naturels).
Considérons sur ℕ × ℕ la loi produit de l'addition de ℕ par elle-même, que nous continuerons à noter additivement.
((m,n),(m',n')) → (m+m',n+n').
Cette opération est compatible avec la relation d'équivalence qui définit les éléments de ℤ.
C'est à dire que:
(m1,n1) ≡ (m2,n2)  et (m'1,n'1) ≡ (m'2,n'2) ⇒  (m1,n1)+(m'1,n'1) ≡ (m2,n2)+(m'2,n'2)
Elle permet donc de définir une opération sur les classes par passage au quotient: C(m,n)+C(m',n')=C(m+m',n+n')
Il est clair que dans chaque classe il existe un et un seul représentant ayant au moins une coordonnée nulle. C'est la première coordonnée qui est non nulle pour les positifs et la seconde pour les négatifs.
On voit que cette définition nous donne, conformément aux notations adoptées.
(+m)+(+n)=+(m+n) si m et n sont des naturels
(-m)+(-n)=-(m+n) si m et n sont des naturels
Dans le cas de l'addition de relatifs de signes opposés on retrouve la règle usuelle c'est le signe du plus grand qui l'emporte.
Bref, que l'on choisisse la première méthode de construction ou bien la seconde, la définition de l'addition reste la même.
Nous énonçons maintenant une propriété importante:
(ℤ,+) est un groupe abélien (noté additivement).
La vérification de ce résultat est immédiate compte tenu de la définition de l'addition.