Soient
a et b deux entiers relatifs tous deux non nuls, d leur
PGCD. Il existe
deux entiers relatifs u et v tels que:
d=ua+bv
preuve: C'est tout simplement parce que d est (par définition même) un
générateur de aℤ+bℤ
Considérons l'équation:
xa+yb= 0
Elle a comme solution évidente le couple (u,v)=(b/d,-a/d) où
d=pgcd(a,b) ainsi que tous les multiples de ce couple, c'est à dire les
couples de la forme (kb/d,-ka/d)=(ku,kv).
Ce sont d'ailleurs les seules solutions entières, en effet si
u'a+v'b=0
On en déduit que:
v'ua+vv'b=0
vu'a+vv'b=0
donc v'u-u'v=0 donc v'u=u'v
Comme v est premier avec u v divise v', v'=kv
Comme u est premier avec v u divise u', u'=hu
donc kvu=huv soit (h-k)uv=0.
Si u=0 alors (u',v')=k(u,v)
Si v=0 alors (u',v')=h(u,v)
Enfin si u ≠ 0 et v ≠ 0 alors uv ≠ 0 et h=k
Cela étant vu si (u,v) est un couple d'entiers de Bézout pour (a,b) et
si (x,y) est une solution de xa+yb=0 alors (u+x,v+y) est un autre
couple d'entiers de Bézout pour (a,b). Ce qui justifie notre assertion
que les couples de Bézout sont en nombre infini.