Nous allons maintenant nous intéresser aux idéaux de ℤ exclusivement. Voici un premier résultat:
Dans l'anneau (ℤ, +, ×) les notions de sous-groupe et d'idéal coïncident.

Soit I un tel idéal, et soit x un élément de I, alors  si n est un entier positif nx = x+...+x est dans I car I est un sous-groupe, comme I est un sous-groupe (-x) aussi est dans I donc également n(-x)=(-n)x. Il s'en suit que les éléments de la forme kx où k ∈ ℤ ( revoir ce point) sont tous dans I si I est un sous-groupe.
Notons que cette situation est tout à fait exceptionnelle, nous aurions pu pour notre propos ne traiter que les sous-groupes de ℤ mais nous avons besoin des propriétés des idéaux pour des généralisations futures.
Voici maintenant un résultat très simple:
Si x est un élément de ℤ alors ℤx (l'ensemble des multiples de x par tous les éléments de ℤ) est un idéal de ℤ, c'est le plus petit idéal de ℤ contenant x, on l'appelle l'idéal 'engendré par x'.

ℤx est clairement un sous-groupe de (ℤ,+). De plus si y ∈ ℤx et si k ∈ ℤ alors ky est un multiple de x aussi. Par ailleurs, si un idéal contient x il est clair qu'il doit contenir tous ses multiples (par définition d'un idéal) d'où notre proposition.
Et en voici un autre:
Tout idéal I de ℤ est de la forme ℤx où x est un élément de ℤ. C'est à dire que tout idéal (de ℤ) est engendré par un unique élément (est 'monogène'). On résume cela en disant que ℤ est un anneau 'principal'.

Soit donc I un idéal de ℤ. De deux choses l'une soit I contient des éléments strictement positifs soit il n'en contient pas. S'il n'en contient pas, il ne peut pas, par symétrie, contenir non plus d'éléments strictement négatifs, il se réduit donc à {0}=ℤ0 et il n'y a rien à démontrer.
Si maintenant ℤ contient des éléments strictement positifs on désigne par x le plus petit d'entre eux. Alors ℤx est un idéal de ℤ, nous venons de le voir et ℤx ⊆ I compte tenu de ce qui précède. Nous allons montrer qu'en fait I=ℤx. Pour cela nous raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il existe y ∈ I tel que y ∉ ℤx et effectuons la division euclidienne de y par x on a y=qx+r avec r>0 et r<x. Or r=y-qx est forcément un élément de I, or r est non nul puisque y est supposé non multiple de x, mais cela contredit la définition de x.

Remarque

mℤ = nℤ ⇔ m=n ou m=-n.

C'est évident puisque tout élément de mℤ est un multiple de m, donc m est un multiple de n et n est un multiple de m.
Nous allons par la suite étudier certaines opérations avec des idéaux conduisant à de nouveaux idéaux, en utilisant le fait que tous les idéaux de ℤ sont monogènes nous aurons simplement et sans efforts un grand nombre de résultats concernant la divisibilité dans ℤ.