Nous allons maintenant donner un procédé de construction plus rigoureux et plus général puisqu'il s'agit de la ' symétrisation' d'une loi de composition interne associative et à élément neutre .

Regardons, par exemple, un relevé de compte.  On  y trouve  une liste de mouvements  correspondant chacun à un crédit ou à un débit.
Pour ce qui concerne la position du compte (le solde),on ne considère que le couple (C,D) formé par la somme des crédits et la somme des débits.


Du seul point de vue du solde peu importe que l'on enlève ou que l'on ajoute deux écritures de même montant en sens opposés. Le couple (C,D) est équivalent au couple (C+R,D+R) ou bien au couple (C-R,D-R) si R ≤ C et R ≤ D.

Pour éviter la dernière condition logique nous dirons que les couples de naturels (C1,D1) et (C2,D2) sont équivalents si et seulement si C1+D2=C2+D1
Nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu'il s'agit bien d'une relation d'équivalence.

Voici les classes d'équivalence pour cette relation:

La classe de (m,0) se note +m et la classe de (0,n) se note -n . Encore une fois pour la classe du couple (0,0) où tous les couples ont mêmes coordonnées on peut noter +0 ou -0 . On note ℤ l'ensemble quotient de ℕ×ℕ par cette relation d'équivalence.

Notations usuelles: