Voici
maintenant quelques résultats, déjà utilisés dans le chapitre consacré
aux entiers naturels, mais dont nous avons reporté la preuve parce
qu'elle devient remarquablement simple avec l'identité de Bézout.
Théorème de Gauss
:
a,b,c désignant trois entiers relatifs non nuls si a divise bc et est
premier avec b alors a divise c.
preuve:
Partons de ua+bv=1 multiplions par c uac+bcv=c
comme uac
est divisible par a et bcv aussi puisque bc l'est on obtient le
résultat voulu.
Carl Friedrich Gauss
|
|
Théorème d'Euclide
:
p étant un nombre premier si p divise ab alors p divise a ou p divise b.
C'est
une conséquence du précédent sachant que si p est premier et n
quelconque non nul, on a les deux seules possibilités pgcd(n,p)=p ou
pgcd(n,p)=1
Théorème d'unicité la
décomposition en facteurs premiers
:
C'est
maintenant une conséquence immédiate du théorème d'Euclide.
Equations diophantiennes:
a,b,c étant trois entiers relatifs non nuls, une condition nécessaire
et suffisante pour qu'il existe des solutions entières à:
ax+by=c
est que c soit un multiple de pgcd(a,b).
C'est une conséquence immédiate de l'identité de Bézout.
En outre pour la résolution on procéde comme suit.
Soit d=pgcd(a,b) on isole un couple de Bézout (u,v) pour l'équation
ax+by=d
Ensuite on doit avoir c=kd donc on prend comme solution particulière
(ku,kv).
Il suffit alors d'ajouter à cette solution particulière la solution
générale de l'équation homogène associée:
ax+by=0
Voir pour cela ce
résultat
.