Voici maintenant quelques résultats, déjà utilisés dans le chapitre consacré aux entiers naturels, mais dont nous avons reporté la preuve parce qu'elle devient remarquablement simple avec l'identité de Bézout.
Théorème de Gauss :
a,b,c désignant trois entiers relatifs non nuls si a divise bc et est premier avec b alors a divise c.
preuve: Partons de ua+bv=1 multiplions par c   uac+bcv=c  comme uac est divisible par a et bcv aussi puisque bc l'est on obtient le résultat voulu.
Carl Friedrich Gauss
Théorème d'Euclide :
p étant un nombre premier si p divise ab alors p divise a ou p divise b.
C'est une conséquence du précédent sachant que si p est premier et n quelconque non nul, on a les deux seules possibilités pgcd(n,p)=p ou pgcd(n,p)=1

Théorème d'unicité la décomposition en facteurs premiers :
C'est maintenant une conséquence immédiate du théorème d'Euclide.

Equations diophantiennes:
a,b,c étant trois entiers relatifs non nuls, une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe des solutions entières à:
ax+by=c
est que c soit un multiple de pgcd(a,b).
C'est une conséquence immédiate de l'identité de Bézout.
En outre pour la résolution on procéde comme suit.
Soit d=pgcd(a,b) on isole un couple de Bézout (u,v) pour l'équation
ax+by=d
Ensuite on doit avoir c=kd donc on prend comme solution particulière (ku,kv).
Il suffit alors d'ajouter à cette solution particulière la solution générale de l'équation homogène associée:
ax+by=0
Voir pour cela ce résultat .