Sous-groupes

Commençons par la définition générale d'un 'sous-groupe' d'un groupe. Nous utiliserons ici la notation additive, mais ce n'est nullement une obligation.
Soit (G,+) un groupe. Une partie H de G est appelée un 'sous-groupe' de G si et seulement si elle vérifie les 3 conditions suivantes:

Exemples

Les exemples ci-dessus correspondent à ce qu'on appelle des sous-groupes 'triviaux'. Soit G le groupe des permutations d'un ensemble E, et soit X une partie de E. Voici encore d'autres exemples:

Idéaux

La définition précédente est relative à la seule structure de groupe. Donnons maintenant une autre définition relative aux anneaux. Nous nous bornerons ici aux anneaux 'commutatifs' bien que cette hypothèse ne soit nullement nécessaire.
Soit (A,+, ×) un anneau (supposé ici commutatif). Un 'idéal' I de A est un sous-ensemble de A possédant les propriétés suivantes:

Exemples