Considérons l'application de ℕ dans ℤ qui à tout naturel n associe le relatif +n
f: n → +n

Cette application est évidemment injective .
Si on la considère comme étant à valeurs dans ℤ + elle devient évidemment surjective .
Les deux ensembles ℕ et  ℤ + sont donc en bijection par f.
De plus il est clair que f(m+n)=f(m)+f(n), ce qui se traduit par +(m+n)=(+m)+(+n) et se ramène à la définition de l' addition sur ℤ .
C'est donc un isomorphisme de (ℕ,+) sur (ℤ + ,+).
Mais en outre   ℤ + est stable pour la multiplication de ℤ et on remarque que:
f est également un isomorphisme de (ℕ, ×) sur   (ℤ + ,×).
De plus elle est compatible avec la relation d'ordre ≤ :
m ≤ n ⇒  f(m) ≤ f(n)
Nous utiliserons cette bijection pour identifier ℕ et  ℤ + c'est à dire que nous omettrons le signe + pour les relatifs positifs.
On peut croire que cet abus d'écriture peut être la source de confusions par exemple:
-3 doit il être compris comme le relatif -3 ou comme l'opposé de +3 c'est à dire -(+3) quand on combine l'abus d'écriture ci-dessus avec la notation additive ?
La réponse est, bien sûr, qu'il n'y a pas de confusion possible car il s'agit du même élément.
Notons encore d'autres possibilités de confusions:
ℤ étant un groupe additif si x est un élément de ℤ, nx a un sens en notation additive, peut-on confondre cet élément avec le produit (+n) × x au sens de la multiplication qui vient d'être définie ?
Là encore nous laissons le lecteur vérifier que les deux définitions coïncident. Ce qui veut dire qu'on a par exemple:
(-3)+(-3)+(-3)=(-3) × (+2)
A ce stade nous avons construit un ensemble ℤ qui apparaît comme une 'extension' de ℕ dans la mesure où ℕ s'identifie à un sous ensemble de ℤ (à savoirℤ + ) que l'ensemble ℤ est muni de toutes les opérations et de toutes les propriétés de ℕ et qu'en plus les équations du type:
a+x=b possèdent toutes une solution unique dans ℤ, ce qui fait que notre contrat est largement rempli.
Nous allons voir maintenant que ℤ possède en fait beaucoup plus de propriétés et que nous allons être largement récompensés pour notre travail de construction.