Voici le fil conducteur qui nous servira tout au long de cette présentation des ensembles de nombres usuels.
On commence par remarquer que certaines équations ne possèdent pas de solution dans les ensembles de nombres que nous connaissons.
Nous construisons ensuite par des opérations ensemblistes légales un nouvel ensemble qui sera une 'extension' d'un ensemble existant au sens suivant:
C'est ainsi que l'on construit  ℤ à partir de ℕ ,ℚ à partir de ℤ, ℝ à partir de ℚ et ℂ à partir de ℝ.
Parfois les procédés de construction sont très voisins les uns des autres, parfois ils sont totalement différents. On verra ainsi que les constructions de ℤ à partir de ℕ et de ℚ à partir de ℤ sont très proches, que la construction de ℝ à partir de ℚ est totalement différente des deux premières, et qu'enfin la construction de ℂ à partir de ℝ s'apparente plutôt aux  deux premières. Nous verrons que les nouveaux ensembles présentent par rapport aux anciens des sauts ' qualitatifs' (on peut y faire plus de choses) et que parfois il présentent aussi des sauts ' quantitatifs' du point de vue de la théorie des cardinaux (ils ont vraiment beaucoup plus d'éléments).
Nous nous intéressons maintenant dans ce chapitre uniquement à la construction de  ℤ à partir de ℕ.
Les équations que nous cherchons à résoudre sont celles de la forme:
x+a=b  où a et b désignent des naturels donnés et où x désigne l'inconnue dans ℕ .
Certaines de ces équations possèdent une solution, par exemple si a=3 et b=5, x=2 convient.
D'autres équations de ce type ne possèdent aucune solution, par exemple si a=5 et b=3, le membre de gauche sera toujours ≥ 5 donc ne pourra être égal à 3. C'est parce que (ℕ, +) n'est pas un groupe. Nous construirons donc ℤ comme un groupe abélien additif contenant ℕ comme sous-ensemble stable.
Par ailleurs ℕ convient pour dénombrer des ensembles pour compter des éléments, mais il ne convient pas pour noter des quantités relatives comme la position d'un compte bancaire qui peut être créditeur ou débiteur, une température Celsius qui peut être en dessous ou au dessus d'un point défini comme 0  pour une certaine propriété physique.
En Orient, les entiers relatifs sont connus et utilisés depuis fort longtemps, en Inde, en Perse et dans le monde Arabe. En occident ils s'imposent beaucoup plus tard  et encore avec grande difficulté, des mathématiciens de renom comme d'Alembert sont fort soupçonneux quand à leur réelle utilité. C'est finalement Richard Dedekind, qui fort tardivement signe l'acte de naissance officiel de l'ensemble ℤ.

La galerie des portraits

Abu Abudllah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi (783/850-IRK) Simon Stevin (1548/1620-NL) Jean Le Rond d'Alembert (1717/1783-FR) Richard Dedekind (1831/1916-DE)