Commençons par une opération simple et déjà connue, l'intersection de deux idéaux.
Si I1 et I2 sont deux idéaux de ℤ , alors leur intersection I1∩I2 est également un idéal de ℤ.

Commençons par démontrer que l'intersection de deux sous-groupes est encore un sous-groupe. Remarquons d'abord que tout sous-groupe contient l'élément neutre. En effet un sous-groupe est par définition non vide, il contient donc un élément x, il doit donc contenir son symétrique (-x en notation additive) il doit donc aussi contenir x +(-x)=0. Tous les sous-groupes contenant 0 l'intersection de deux quelconques d'entre eux contient encore 0 et est donc non vide.
Cela dit si H1 et H2 sont deux sous-groupes et si x et y sont des éléments de H1∩H2. Alors x+y ∈ H1 puisque H1 est un sous-groupe, de la même façon x+y ∈ H2 puisque H2 est un sous-groupe, donc x+y ∈ H1∩H2.
Supposons maintenant que x ∈ I1∩I2 et y est un élément quelconque de ℤ. Alors yx ∈ I1 puisque I1 est un idéal, et yx ∈ I2 puisque I2 est un idéal donc yx ∈ I1∩I2, ce qui achève notre démonstration.
En définitive I1∩I2 est un idéal et tout idéal contenu dans I1 et I2 est également contenu dans l'idéal I1∩I2.
Par exemple 2ℤ∩3ℤ est un idéal de ℤ cet idéal contient évidemment 6ℤ nous montrerons un peu plus tard que c'est exactement 6ℤ.
De la même façon 6ℤ∩8ℤ est un idéal de ℤ, cet idéal contient évidemment 48ℤ nous montrerons que ce n'est pas 48ℤ.