Peut être avez-vous appris la multiplication des nombres relatifs au moyen de la fameuse 'table des signes':
+ par + donne +
+ par - donne -
- par + donne -
- par - donne +

Cette table est généralement fournie dans les manuels scolaires comme une donnée divine, comme les 'tables de la loi'.
Il y a pourtant quelque chose d'intriguant.
ℤ est symétrique et cette table ne l'est pas. Le signe - 'l'emporte' sur le + et  ce fameux '- par - donne +'.
Il y a pourtant une explication simple à donner.
Il y a dans ℕ une multiplication et cette multiplication est distributive par rapport à l'addition.
Si donc nous voulons munir ℤ d'une multiplication prolongeant celle de ℕ, il serait bon qu'elle soit également distributive par rapport à +.
Voyons ce que cela entraîne en pratique:
si y désigne un entier relatif quelconque on devra forcément avoir:
y.0 = 0.y = 0
En effet:
y.(x + 0) = y.x + y.0 = y.x
donc en soustrayant y.x à y.x + y.0 = y.x
on obtient bien l'égalité cherchée.
Cela dit soit n un entier relatif et calculons
y.((+n)+(-n)) par distributivité et compte tenu de ce qui précède on doit avoir y.(+n) + y.(-n)=0
Donc  y.(-n) = -( y.(+n))
En remplaçant y par +m et par -m on obtient les 3 dernières lignes de la table qui apparaissent donc, non plus comme une donnée divine, mais bien comme une nécessité pour que × soit distributive sur +.
Quant à la première ligne de la table elle est également nécessaire pour une identification de ℕ avec ℤ+ nous verrons cela un peu plus loin.
Il est maintenant temps de passer à la définition du produit de deux entiers relatifs.
Définissons d'abord la 'valeur absolue' d'un relatif par:
Tout entier relatif est donc défini par son signe et sa valeur absolue.
Nous pouvons maintenant définir le produit x.y de deux entiers relatifs x et y.
C'est le relatif dont le signe est donné par la table des signes et dont la valeur absolue est définie par: |x.y|= |x|.|y|