Définition et propriétés

Pour tout couple d'entiers relatifs (x,y), on écrit x≤y si x-y∈ℤ+ .
Il est facile de voir que:
On définit ainsi une relation d'ordre sur ℤ.
Il s'agit d'une relation d'ordre total .
Cette relation est compatible avec l'addition.
En outre elle est aussi compatible avec la multiplication par un entier positif non nul.
∀ k ∈ + x ≤ y ⇔  kx ≤ ky
Pour ce qui concerne la multiplication par un entier négatif non nul on a:
∀ k ∈ - x ≤ y ⇔  kx ≥ ky
Par ailleurs à partir de ≤ on définit ≥ qui est sa réciproque , ainsi que les relations d'ordre strictes :