Définition

Soient m et n deux entiers, chacun engendre un idéal, l'idéal de ses multiples; m engendre mℤ et n engendre nℤ. La somme de mℤ et nℤ est un idéal également donc de la forme dℤ comme tous les idéaux de ℤ.
mℤ+nℤ=dℤ
Remarquons que mℤ ⊆ dℤ et aussi nℤ ⊆ dℤ. Ce qui entraîne que m ∈ dℤ et n ∈ dℤ. donc m et n sont des multiples de d, c'est à dire que d est un diviseur commun à m et n. Supposons maintenant que d' soit un diviseur commun à m et n alors m ∈ d'ℤ et n ∈ d'ℤ donc mℤ ⊆ d'ℤ et nℤ ⊆ d'ℤ, et mℤ+nℤ ⊆ d'ℤ. Compte tenu de la caractérisation de mℤ+nℤ on a dℤ ⊆ d'ℤ donc d ∈ d'ℤ donc d multiple de d' donc d' diviseur de d.
En définitive:
Tout diviseur commun à m et n est un diviseur de d.
Nous appellerons PGCD dans ℤ de deux entiers relatifs m et n, tout générateur de mℤ+nℤ.
Cette définition appelle deux remarques:
La première est que le pgcd de deux entiers relatifs n'est défini qu'au signe près .
Par abus de langage il nous arrivera de dire 'le' PGCD de m et n, on pourra alors comprendre qu'il s'agit du PGCD positif.
La seconde est que si m et n sont deux relatifs positifs leur PGCD au sens de ℤ est au signe près leur PGCD au sens de ℕ.