Définition

Nous calquons notre définition sur la définition correspondante pour les entiers naturels.
Deux entiers relatifs a et b tous deux non nuls, sont dits 'premiers entre eux' si leur pgcd est égal à 1 (au signe près toujours).
Le théorème de Bézout nous fournit immédiatement comme conséquence:
a et b sont premiers entre eux si et seulement si on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que:
ua+bv=1
Le fait que la condition soit suffisante (à la différence du cas général) résulte du fait que si on a ua+bv=1, alors tout diviseur commun à a et b doit diviser 1.
Tout cela se généralise immédiatement par récurrence au cas de n entiers:
Étant donnés des entiers relatifs a1,..,an, si d est le PGCD de a1,..., an alors il existe des entiers relatifs x1,...,xn tels que  x1a1+x2a2+...+xnan=d
En particulier, a1,..., an sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et seulement s' il existe des entiers relatifs x1,...,xn tels que  x1a1+x2a2+...+xnan=1.
Notons cette fois encore que dans le cas d'une famille quelconque il s'agit d'une condition nécessaire et qu'elle est nécessaire et suffisante dans le cas d'entiers premiers entre eux.
Signalons enfin une propriété plus forte pour une famille d'entiers, c'est la notion d'entiers premiers entre eux deux à deux.
Étant donnés des entiers relatifs a1,..., an on dit qu'ils sont premiers entre eux deux à deux si tout couple d'entiers (ai,aj) extrait de la suite (a1,..., an) est un couple d'entiers premiers entre eux.

Le théorème chinois

Voici un cas où cette notion intervient. Il s'agit du 'théorème des restes chinois':
Soient n1,..., nk des entiers deux à deux premiers entre eux . Alors pour tous entiers a1,..., ak, il existe un entier x tel que:
∀ i  1 ≤ i ≤ k  x ≡ ai [ni]
x est unique modulo n près où n=n1×n2×...× nk.

Une solution x peut être trouvée comme suit:
Pour chaque i, les entiers ni et mi =n/ni sont premiers entre eux, et en utilisant l'identité de Bézout, on peut trouver des entiers ui et vi tels que uini+vimi=1.
Si on pose ei=vimi, alors nous avons:
ei ≡ 1 [ni] et  ei ≡ 0 [nj] pour j ≠ i.
x=a1e1+a2e2+...+akek est donc une solution.
Plus généralement, toutes les solutions de ce système sont congrues modulo le produit n, puisque la différence entre deux solutions est multiple de tous les ai.

Exemple d'application

Dans combien de jours la pleine lune tombera-t-elle au solstice d'hiver ? (on néglige les années bissextiles).
Si la question se pose alors qu'il reste 6 jours avant le solstice d'hiver et 3 jours avant la pleine lune, la question se traduit par:
Existe-t-il un entier x tel que le reste de la division de x par 365 donne 6 et le reste de la division de x par 28 donne 3 ?
La méthode ci-dessus conduit à la solution -1089, on cherche la plus petite solution positive, il faut donc rajouter 10220= 365 × 28.
Réponse finale: 9131