Notation et définition

Puisque les relations de congrence  x ≡ y [n] sont des relations d'équivalence, on peut considérer les ensembles quotients de ℤ par ces relations.
Puisque les opérations d'addition et de multiplication sont compatibles avec ces relations d'équivalence on peut considérer les lois quotients ,
l'ensemble quotient de ℤ par la relation ≡ [n], muni des lois + et × induites se note ℤ/nℤ.
Rappelons quand même les définitions des opérations sur les classes :
Cl(x)+Cl(y)=Cl(x+y)
Cl(xy)=Cl(x)Cl(y)

Propriétés

(ℤ/nℤ ,+) est un groupe abélien .
C'est pratiquement évident. Le neutre est Cl(0) l'opposé de Cl(x) est Cl(-x).
( ℤ/nℤ,+, ×) est un anneau commutatif unitaire.
A nouveau il n'y a rien de difficile l' associativité et la commutativité de × sur  ℤ/nℤ, résultent immédiatement de l'associativité et de la commutativité de × sur  ℤ.
Le neutre de la multiplication est Cl(1).

Exemples

Si on identifie les classes avec les restes dans la division par n de leurs éléments voici quelles sont les tables d'addition et de multiplication de  ℤ/4ℤ.
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
× 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Si on identifie les classes avec les restes dans la division par n de leurs éléments voici quelles sont les tables d'addition et de multiplication de  ℤ/5ℤ.
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
× 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
On peut voir quelques différences sur ces exemples:

ℤ/4ℤ n'est pas un corps car 2 est un diviseur de zéro et n'a donc pas d'inverse.
ℤ/5ℤ est un corps:
Il apparaît donc que pour certaines valeurs de n  ℤ/nℤ est un corps et pour d'autres ℤ/nℤ n'est pas un corps.

Structure de corps

Le théorème suivant nous en dit plus:
ℤ/nℤ est un corps si et seulement si n est un nombre premier .
l'existence d'un inverse pour a où a est un reste < n se traduit par:
∃ b |  ab ≡ 1 [n] soit encore  1=ab+kn.
Mais si n est premier, n est premier avec tous les nombres strictement inférieurs à lui. Il suffit donc d'appliquer l'identité de Bézout pour voir que quand n est premier tout élément de ℤ/nℤ est inversible.
Réciproquement si tout élément est inversible, n est premier avec tous les nombres qui le précède, il est donc premier.

Vous pouvez générer quelques exemples avec le formulaire ci-dessous:
Donner un entier 0< n ≤ 50
Eléments inversibles de ℤ/nℤ:
Message d'erreur éventuel:

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