Nous venons de voir que l' intersection de deux idéaux est un idéal; on peut se demander si la réunion de deux idéaux en est encore un.
La réponse est malheureusement négative comme le montre immédiatement l'exemple suivant:
Prenons I1=2ℤ et I2=3ℤ, alors si la réunion était un idéal elle devrait contenir 5 ce qui n'est pas le cas.
De la même façon que nous avons déterminé quel était le plus grand idéal contenu dans I1 et I2, nous allons déterminer le plus petit idéal contenant I1 et I2.
L'ensemble des sommes x+y où x ∈ I1 et y ∈ I2 est un idéal, c'est le plus petit idéal contenant I1 et I2 , on l'appelle 'somme' de I1 et I2 , on le note I1+I2.

Cela est à peu près évident. Cet ensemble satisfait évidemment aux axiomes de définition des idéaux, il contient évidemment I1 et I2 puisque tout x ∈ I1 s'écrit x+0 et que tout y ∈ I2 s'écrit 0+y.
Par ailleurs tout idéal contenant I1 et I2 contient forcément I1+I2 du fait que c'est un sous-groupe.

Remarque

Si I1⊆I2 alors I1+I2=I2 et réciproquement.