Nous avons déjà vu que (ℤ,+) est muni d'une structure de groupe abélien noté additivement.
c'est à dire que:
Mais nous avons également muni ℤ d'une seconde loi ×, ou . , notée multiplicativement.
Voyons quelles sont les propriétés de cette loi.
Elle est associative.
Il faut vérifier que ∀ (x,y,z) ∈ ℤ×ℤ×ℤ on a (x.y).z = x.(y.z).
Pour que deux relatifs soient égaux il faut et il suffit qu'ils aient même valeur absolue et même signe.
Or il est clair que |ab|=|a||b| ∀ (a,b) ∈ ℤ×ℤ ⇒ |(x.y).z| =|x.(y.z)|=|x|.|y|.|z|
Pour voir que (x.y).z et x.(y.z) ont même signe il suffit de faire un tableau:
x y z (x.y).z x.(y.z)
+ + + + +
+ + - - -
+ - + - -
+ - - + +
- + + - -
- + - + +
- - + + +
- - - - -
Elle possède +1=1 pour élément neutre.
Elle est commutative.
En effet |x.y|=|y.x|=|x|.|y| et les deux expressions x.y et y.x ont même signe (refaire un tableau).
Elle est distributive sur l'addition.
On sait déjà que x.(y+z)=x.y+x.z quand x,y,z sont tous positifs, puisqu'il s'agit tout simplement de la distributivité de × sur + dans ℕ
On peut en conclure assez rapidement la même égalité quand ils sont tous négatifs.
Pour finir il faut faire une étude des 6 cas restant, c'est un peu long mais très simple, évident même quand y et z sont de même signe.
Nous résumons tout cela en affirmant que ( ℤ , +, ×) est muni d'une structure d' anneau commutatif unitaire.
Cela signifie en particulier que toutes les règles de calcul dans les anneaux commutatifs (identités remarquables), toutes les règles de calcul avec les puissances, etc.. s'appliquent en toute rigueur pour l'évaluation des expressions dans ℤ.
ℤ est en outre un anneau 'intègre' c'est à dire ne comportant pas de 'diviseurs de zéro' , c'est à dire que( x.y=0 )⇒( x=0 ou y=0) dans ℤ.