Définition

Soit E un espace vectoriel de dimension finie muni d'une forme sesquilinéaire non-dégénérée f. Soit u un endomorphisme de E. Pour y donné, l'application x → f(u(x),y) est une forme linéaire en x. Compte tenu des résultats précédents sur les formes non-dégénérées il existe un unique vecteur y' tel que f(u(x),y)=f(x,y') ∀ x ∈ E.
L'application y → y' de E dans E se note u* et s'appelle "l'adjoint" de u relativement à la forme f.

Propriétés

L'application u* est linéaire comme u.

En effet on a f(x,u*(λy))= f(u(x),λy)=λ*f(u(x),y)= λ*f(x,u*(y))=f(x, λ**u*(y))=f(x,λu*(y)). D'où u*(λy)=λu*(y).
f(x, u*(y+y'))= f(u(x),y+y')=f(u(x),y)+f(u(x),y')=f(x,u*(y))+f(x,u*(y'))= f(x,u*(y)+u*(y')). D'où u*(y+y')= u*(y)+u*(y').
Les affirmations ci-après se vérifient instantanément.
On a (vou)*=u*ov*
(αu+βv)**u**v*
La proposition qui suit est parfaitement évidente.
Supposons maintenant f hermitienne, on a alors u**=u

Adjointe d'une matrice

Parallèlement à la notion d'adoint d'une matrice on a la notion d'adjointe d'une matrice.
Si A = (αi,j)1≤i,j≤n désigne une matrice, la 'matrice adjointe' de A, notée A*, est la matrice obtenue en transformant la transposée de A par l'involution de K.
A*=(βi,j)1≤i,j≤n où:
βi,jj,i*
Les propriétés suivantes résultent de la définition:
Voici une appliquette qui donne des exemples de matrices adjointes.
Matrice A Matrice adjointe de A
Réels Complexes

Lien entre l'adjointe d'une matrice et l'adjoint d'un endomorphisme

En général si B est une base quelconque la matrice de l'adjoint d'un endomorphisme n'est pas l'adjointe de la matrice de cet endomorphisme. On a cependant le résultat suivant quand B est une base particulière:
Si la matrice de f par rapport à B est l'identité, et si A est la matrice de u par rapport à B alors la matrice de u* par rapport à B est A*.
La vérification de cette propriété est instantanée. Les bases telles que B sont les bases pour lesquelles l'expression de f est la suivante:
f x , y = i = 1 n x i y i
De telles bases s'appellent des bases 'orthonormales' pour f. Un paragraphe entier sera consacré à leur étude.