Définition

On appelle 'algèbre' tout espace vectoriel muni d'une loi multiplicative, associative et distributive à gauche et à droite par rapport à l'addition.
Une algèbre est donc un espace vectoriel qui est, de plus, un anneau.
Avec cette définition l'ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes à coefficients dans K, soit M(n,n,K), que l'on note plus simplement M(n,K) est muni d'une structure d'algèbre.
Cette algèbre est unitaire, l'élément unité étant la matrice U définie par U=(αi,j) où:
αi,j= 0 si i ≠ j et 1 si i=j. Cette matrice comporte donc des 1 sur la 'diagonale' et des 0 partout ailleurs.
Signalons encore:
L'ensemble des matrices inversibles de M(n,K) forme un groupe multiplicatif, non commutatif, noté GL(n,K).
Signalons encore un usage répandu (emprunt à la terminologie anglaise):
Les matrices carrées inversibles sont qualifiées de 'régulières' (regular - non singular ) et les matrices non inversibles sont qualifiées de 'singulières' (non regular - singular).

Attention!

Le groupe GL(n,K) n'étant pas commutatif, la formule (AB)-1=A-1B-1 est (en général) fausse. La formule exacte est (AB)-1=B-1A-1.
Voici maintenant une appliquette vous permettant de visionner quelques matrices régulières .
Vous pouvez sélectionner l'ordre entre 2 et 4 au moyen du curseur.
Vous pouvez sélectionner le corps de base (choix entre 4 possibilités par bouton radio.
La seule incompatibilité concerne l'ordre 4 avec le corps ℚ qui risque de provoquer un plantage de javascript.
Matrice A-1
Matrice A Matrice A×A-1
ℤ/5ℤ
Ordre de la matrice carrée A  :
A ce stade nous n'avons guère d'autre moyen de constater qu'une matrice est régulière (inversible) que d'exhiber son inverse. Rien n'est encore vu concernant un critères d'inversibilité. nous nous pencherons sur ce problème dans un procain chapitre.
De la même façon il n'est pas évident de déterminer si une matrice est singulière. On peut le voir toutefois assez facilement dans certains cas particuliers. Il est évident par exemple qu'une matrice d'ordre >1 ayant tous ses coefficients égaux ne peut être inversible, car la recherche d'un inverse conduit à un système n'ayant évidemment pas de solution. Il existe évidemment de nombreux autres cas que nous mettrons en évidence dans le chapitre suivant faisant le lien entre matrices et applications linéaires.

Café Python

Nous allons maintenant écrire un programme de génération de matrices aléatoires qui vérifiera en outre l'associativité du produit.

Voici  le résultat d'une exécution.
A=
[[ 2 -5 -7 -1  8]
[-9  8 -9  8 -3]
[-9 -5  7 -3 -3]
[ 3 -5  5 -3  4]]
B=
[[-7 -7]
[-6  8]
[-1 -7]
[-7  7]
[ 8  8]]
C=
[[-1  3  6]
[-4  5  1]]
(AxB)xC=
[[-302  542  616]
[-832  942 -114]
[ 201 -106  427]
[ 283 -254  257]]
Ax(BxC)=
[[-302  542  616]
[-832  942 -114]
[ 201 -106  427]
[ 283 -254  257]]

Nous allons maintenant écrire un programme de génération de matrices aléatoires qui vérifiera en outre la distributivité du produit sur la somme.

Voici le résultat d'une exécution:
A=
[[-3  3  8]
[-2  4 -8]
[ 8 -3 -9]]
B=
[[ 1 -9  3 -1 -1]
[ 9 -5  8  4  9]
[-4 -3  4 -4  5]]
C=
[[ 2 -4  0 -7 -3]
[-7  1  0  6  7]
[ 6  8 -7 -2  3]]
(AxB)+(AxC)=
[[  13   67   -9    6  124]
[ -14  -30   50  104    8]
[   0 -137   27  -40 -152]]
Ax(B+C)=
[[  13   67   -9    6  124]
[ -14  -30   50  104    8]
[   0 -137   27  -40 -152]]