Dès lors qu'on a défini une structure algébrique (
groupe,
anneau,
etc...), on définit immédiatement les
homomorphismes
de cette
structure, c'est à dire les applications qui 'conservent' les
opérations algébriques, en ce sens que l'image d'un composé doit être
le composé des images.
Un espace vectoriel est, en particulier, un
groupe abélien additif. Il
faudra donc que les homomorphismes d'espaces vectoriels soient des
homomorphismes de groupes additifs, c'est à dire vérifient
f(u+v)=f(u)+f(v). Le comportement vis à vis de la loi externe étant
celui ci: f(λx)=λf(x), condition qu'on appelle parfois
'homogénéité'.
Plus intuitivement, les homomorphismes d'espaces vectoriels, que nous
appelerons également 'applications linéaires' sont des applications
pour lesquelles le calcul de
l'image
ne nécessite que des calculs du
premier degré et pour lesquelles les représentations graphiques
correspondant à des droites, des plans, etc... des sous-ensembles sans
'courbure'.
Une raison de s'intéresser tout particulièrement à ces applications est
sans doute qu'elles sont les plus simples possibles après les
applications constantes, bien sûr. Elles sont si simples que, dans le
cas de la dimension finie, pour les déterminer entièrement il suffit de
connaître les images de quelques vecteurs (une base).
Par ailleurs quand on les
compose
avec des applications constantes on
obtient une nouvelle catégorie de fonctions dites 'affines'. Ces
fonctions affines sont très simples à interpoler. Entre deux éléments
dont les images sont connues, la variation des images est
proportionelle à la variation de la variable.
Pour motiver encore le lecteur nous ne pouvons que citer Jean Dieudonné
"L'idée fondamentale du calcul différentiel est l'approximation locale
des fonctions par des fonctions linéaires".