Dès lors qu'on a défini une structure algébrique ( groupe, anneau, etc...), on définit immédiatement les homomorphismes de cette structure, c'est à dire les applications qui 'conservent' les opérations algébriques, en ce sens que l'image d'un composé doit être le composé des images. Un espace vectoriel est, en particulier, un groupe abélien additif. Il faudra donc que les homomorphismes d'espaces vectoriels soient des homomorphismes de groupes additifs, c'est à dire vérifient f(u+v)=f(u)+f(v). Le comportement vis à vis de la loi externe étant celui ci: f(λx)=λf(x), condition qu'on appelle parfois 'homogénéité'. Plus intuitivement, les homomorphismes d'espaces vectoriels, que nous appelerons également 'applications linéaires' sont des applications pour lesquelles le calcul de l'image ne nécessite que des calculs du premier degré et pour lesquelles les représentations graphiques correspondant à des droites, des plans, etc... des sous-ensembles sans 'courbure'.
Une raison de s'intéresser tout particulièrement à ces applications est sans doute qu'elles sont les plus simples possibles après les applications constantes, bien sûr. Elles sont si simples que, dans le cas de la dimension finie, pour les déterminer entièrement il suffit de connaître les images de quelques vecteurs (une base).
Par ailleurs quand on les compose avec des applications constantes on obtient une nouvelle catégorie de fonctions dites 'affines'. Ces fonctions affines sont très simples à interpoler. Entre deux éléments dont les images sont connues, la variation des images est proportionelle à la variation de la variable.
Pour motiver encore le lecteur nous ne pouvons que citer Jean Dieudonné "L'idée fondamentale du calcul différentiel est l'approximation locale des fonctions par des fonctions linéaires".