Définition

Un système de vecteurs est appelé une 'base' (de l'espace vectoriel E supposé non nul) si c'est à la fois un système générateur (de l'espace vectoriel E) et un système libre. La notion de base existe donc aussi pour tous les sous-espaces.
Voici maintenant une propriété importante:
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un système B=(u1,u2,....,un) de vecteurs de E soit une base de E est que tout vecteur v ∈ E puisse s'écrire, de manière unique :
v=λ1u12u2+...+λnun
Les nombres λ1, λ2, ... ,λn s'appellent les 'coordonnées' de v par rapport à la base B.

Puisque B est un système générateur les nombres λ1, λ2, ... , λn existent toujours. A partir de deux écritures distinctes du type:
v=λ1u12u2+...+λnun
On pourrait former une relation linéaire entre les ui, ce qui est impossible puisqu'ils forment un système libre.
En voici une autre, également très importante:
Soit L un système libre et G un système générateur fini de E. On suppose également que L ⊂ G. Dans ces conditions, on peut affirmer qu'il existe une base B de E vérifiant L ⊂ B ⊂ G.

G étant un ensemble fini, les sous-systèmes libres de G contenant L sont en nombre fini. Soit B un tel sous-système dont le nombre d'éléments est maximal. Alors B est forcément une base. En effet tout élément de G qui n'est pas dans B peut s'exprimer comme combinaison linéaire d'éléments de B, sinon B ne serait pas maximal. Comme tout élément de E est combinaison linéaire d'éléments de G et que tout élément de G est combinaison linéaire d'éléments de B, il en résulte que B est générateur. Comme c'est un système libre par construction même, c'est donc une base.
Ce théorème admet deux corollaires très importants:
Théorème dit de la 'base incomplète': Dans un espace vectoriel E de dimension finie, tout système libre fini peut être complété en une base.
Soit G un système générateur fini, alors G ∪ L est générateur. Il existe donc une base entre L et G ∪ L .
Dans un espace vectoriel E de dimension finie, de tout système générateur fini on peut extraire une base.

Soit u un vecteur non nul de G, L = (u) est libre. Il existe une base contenant (u) et contenue dans G.

Autres conséquences

Les propriétés suivantes découlent des définitions et des résultats précédents:

Exemples

  1. Si E= K le système à un seul vecteur S=(1) est une base
  2. Si E= K×K le système S=((1,0),(0,1)) est une base
  3. Si E= Kn le système S=((1,0,...,0), (0,1,...,0), ... , (0,0,...,0,1,0), (0,...,0,1)) est une base de n vecteurs appelée 'la base canonique' de Kn.
    Voici une appliquette qui montre la décomposition d'un vecteur de ℝ3 suivant la base canonique (i,j,k) de cet espace.
    Vous pouvez arrêter et redémarrer l'animation à tout moment en cliquant sur la zone graphique.



  4. Si E est l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus égal à n, le système S=(1,x,x2,...,xn) est une base à n+1 vecteurs.