Définitions

Dans tout ce qui suit, le corps de base est supposé être égal à ℝ où à ℂ. L'involution sur K sera soit l'identité (cas orthogonal réel ou complexe) soit la conjugaison (cas hermitien complexe). E est un espace vectoriel sur K supposé de dimension finie, f une forme hermitienne sur E.
Une base B=(u1,...,un) de E est dite 'orthonormale' pour f si elle possède la propriété suivante :

Exemples

  1. La base canonique de ℝn est orthonormale pour le produit scalaire usuel.
  2. La base canonique de ℂn est orthonormale pour la forme x 1 , x 2 , ..., x n , y 1 , y 2 , ..., y n i = 1 n x i y i ¯
Une forme hermitienne f sur E est dite 'positive' si elle vérifie:
f(u,u) ∈ ℝ et f(x,x) ≥ 0 ∀ u ∈ E.
Une forme hermitienne f sur E est dite 'définie positive' si elle est positive et si:
f(u,u) =0 si et seulement si u=0
Il résulte immmédiatement des définitions que:
Dans le cas orthogonal réel une forme est définie positive si elle possède une base orthonormale. La même chose vaut pour une forme hermitienne dans le cas complexe.
Toute forme définie positive est non-dégénérée.
Voici maintenant un résultat évident:
Soit f une forme définie positive sur E et soit F un sous-espace de E alors :
F et F sont en somme directe, c'est à dire que F∩F={0}.
Et voici un résultat très important qui est, en somme, la réciproque d'un des résultats précédents:
Si f est une forme positive non dégénérée sur E alors E possède une base orthonormale pour f.

On raisonne par récurrence sur la dimension de E. Si dim E=1 et si u est un vecteur non nul de E alors
u/√(f(u,u)) est un vecteur 'unitaire' de E, il forme donc à lui seul une base orthonormée de E.
Supposons le résultat établi à l'ordre n-1. Soit E un espace de dimension n et F un hyperplan de E. Alors F, par hypothèse de récurrence, possède une base orthonormale B'=(u1,...,un-1). Soit v un vecteur n'appartenant pas à F et soit un le vecteur
u= v-f(v,u1)u1-f(v,u2)u2-...-f(v,un-1)un-1. On vérifie de suite que u est orthogonal à u1, u2, ..., un-1 et que u ne peut être dans F car v le serait. Si nous posons donc un=u/√(f(u,u)), la base (u1,...,un) est une base orthonormée de E.

Projection orthogonale sur un sous-espace

Soit F un sous-espace de E et B'=(a1,...,ap) une base orthonormale de F. Soit maintenant v un vecteur quelconque de E posons
pF(v)= f(v,a1)a1+...+f(v,ap)ap
On remarque que :
Le vecteur pF(v) est forcément unique à posséder cette propriété puisque F et F sont en somme directe.
Le vecteur pF(v) s'appelle la 'projection orthogonale' de v sur F relativement à la forme f.
On en tire immédiatement la conséquence suivante :
Pour tout sous-espace F, E est somme directe de F et F
En particulier :
dim(F)+dim(F)=dim(E)
Voici une appliquette vous permettant de visualiser dans le plan une projection orthogonale sur une droite (OA).

Procédé de Schmidt

Le "procédé d'orthonormalisation de Schmidt" consiste à fabriquer, à partir de n'importe quelle base, une base orthonormale en s'inspirant de la démonstration par récurrence vue plus haut. Partons donc d'une base quelconque B=(v1,...,vn). Posons c1=v1/√(f(v1,v1)) de sorte que c1 vérifie f(c1,c1)=1.
Soit u2= v2-f(v2,c1)c1 et :
c2=u2/√(f(u2,u2))
On voit que c1 et c2 vérifient : On construit ainsi ci à partir de v1,..., vi-1 en prenant la projection orthogonale ui de vi sur le sous-espace engendré par c1,...,ci-1 , le vecteur ci étant ui/√(f(ui,ui)).

Image: http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Gram%E2%80%93Schmidt_process.svg
L'appliquette ci-dessous montre le procédé de Schmidt en action.

Encore quelques définitions

Une forme hermitienne définie positive s'apellera souvent un 'produit scalaire'.
Quand il n'y aura aucune ambiguïté sur la forme f, au lieu de f(x,x) nous noterons souvent (x|x) ou plus simplement x.x
Pour tout vecteur x de E le nombre positif √(x.x) sera noté ||x|| et appelé la 'norme' de x.

Visualisation du produit scalaire.

L'appliquette ci-dessous présente un vecteur u et un vecteur v .

Café Python

Voici une implémentation de l'algorithme d'orthonormalisation de Schmidt