On suppose les espaces de dimension finie.
Dans le cas des endomorphismes d'un espace vectoriel E, les espaces de départ et d'arrivée sont confondus.
On convient donc, pour la représentation des endomorphismes par des matrices, de choisir (presque toujours) la même base pour le départ et l'arrivée. C'est pour cela que nous écrirons simplement M(B,f) au lieu de M(f,B,B). Les matrices des endomorphismes seront donc toujours carrées. On a vu que M(n,n,K) que nous noterons simplement M(n,K) ou bien Mn(K) était une algèbre, tout comme L(E) l'algèbre des endomorphismes de l'espace E. Le résultat principal est le suivant:
B étant une base de E, l'application:
f → M(f,B) de L(E) dans M(n,K) est un isomorphisme d'algèbres.
Il suffit pour le voir de connecter les résultats précédents, en particulier que la matrice du composé de deux endomorphismes est le produit de leurs matrices.
Une autre conséquence est la suivante:
Soit f : E → E un endomorphisme de l'espace vectoriel E et B une base de E.
Soit enfin A=M(f,B) la matrice de f par rapport à B.
Dans ces conditions :
f bijective ⇔ A inversible et M(f-1,B)=A-1.
L'application f → A est un isomorphisme de groupes de GL(E) sur GL(n,K).

Exemples

  1. La matrice d'une homothétie vectorielle u → λu de E dans E relativement à B est la matrice diagonale ne comportant que des λ sur la diagonale.
    Comme cas particuliers nous avons λ=0 matrice nulle et λ=1 matrice unité.
  2. Prenons l'espace vectoriel E des polynômes de degré ≤ 2 et pour endomorphisme l'application f : p(x) → D(xp(x))= xp'(x)+p(x).
    Choisissons pour base de E la base (1,x,x2)
    M(f,B) est:
    1 1 0
    0 1 0
    0 0 3