Portrait de Gabriel Cramer (Suisse-1704-1752)


Définition

Un 'système de Cramer' est un système de n équations linéaires à n inconnues de rang n.
Il résulte de la définition qu'un tel système s'écrit sous forme matricielle:
AX=B où A est une matrice carrée d'ordre n et de rang n, donc inversible.
De là nous pouvons conclure:
Tout système de Cramer possède une solution unique donnée par X=A-1B

Formules de Cramer

La forme de la solution donnée plus haut suppose qu'on aie déjà calculé l'inverse de la matrice du système. Or il advient que le calcul de l'inverse est un problème à n2 inconnues (les coefficients de A). Donc pour avoir l'expression de la solution en fonction de la matrice inverse il faut déjà calculer cette matrice inverse, ce qui est un problème plus difficile que le problème initial. Cependant le préambule a un interêt, il montre clairement l'existence et l'unicité de la solution dans les conditions de l'énoncé.
Cela dit nous avons des formules explicites pour la solution exprimées au moyen de déterminants , que nous allons donner maintenant. Ces formules sont tout à fait applicables dans le cas de systèmes d'ordre petit, elles deviennent pratiquement inutilisables pour le systèmes d'ordre élevé, c'est pourquoi nous verrons de nombreuses autres méthodes de résolution. Nous énonçons maintenant la règle de Cramer:
Soit AX=B un système de Cramer. X=(x1,...,xn) étant le vecteur inconnu.
Les xi sont donnés par:
x i = Dét A i Dét A   i = 1, ..., n
où Ai est la matrice obtenue en substituant le vecteur colonne B à la i-ième colonne de A.
La démonstration repose sur le calcul de l'inverse au moyen de la comatrice (transposée de la matrice des cofacteurs - voir ce paragraphe), et sur la formule X=A-1B
Voyons tout de suite ce que donnent ces formules à l'ordre 2, pour le système:
ax+by=e
cx+dy=f
Les solutions sont:


Matrice du système Second
membre
Solution
ℤ/5ℤ
Ordre de la matrice carrée A  :